Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - Луис Арталь

Оптимальный уровень производства

Производственную функцию, как и любую другую, можно выразить аналитически с помощью формулы, построив ее график или составив таблицу значений. В строках и столбцах таблицы значений будут записаны значения факторов производства, необходимые для получения определенного объема продукции. На графике изображаются значения, содержащиеся в этой таблице.

Проанализируем упрощенную модель, в которой рассматриваются всего два фактора производства. Рассмотрим пример с изготовлением сплава алюминия с никелем, в котором количество готовой продукции (х) зависит от массы никеля (v1) и алюминия (v2) по следующему закону:

x = v1 + 2v2

* * *

ФУНКЦИИ

Функция — это количественная взаимосвязь между переменными. В простейшем случае функция определяет влияние одной переменной — аргумента (ее значения выбираются произвольно) на другую переменную — зависимую (ее значение зависит от выбранного значения аргумента).

Существуют эмпирические функции, значения переменных для которых получены в результате эксперимента, и математические функции, в которых значения переменных подчиняются определенной формуле.

В экономике некоторые эмпирически выведенные зависимости между переменными можно приближенно описать математической функцией с помощью метода, называемого регрессией.

В других случаях используется формула, которая достаточно точно описывает связь между значениями двух переменных. Если мы будем рассматривать сумму, подлежащую уплате, как зависимую переменную, а число купленных единиц товара — как аргумент, то зависимость между ними будет определяться следующей формулой:

Сумма к уплате = стоимость за единицу товара ∙ число единиц товара.

В математической нотации эта функция будет записываться как f(x) = а∙х, где f(x) обозначает, что значение f (зависимой переменной) зависит от х, а — постоянная, равная стоимости единицы товара, х — число приобретенных единиц товара (аргумент).

Математическую функцию можно представить тремя способами: в виде формулы, таблицы значений или графика в декартовой системе координат. Существует множество видов функций.

Простейшими являются линейные функции, или полиномы (многочлены) первой степени, как, например, f(х) = 0,65х. Далее эта функция представлена в трех различных вариантах.

Функция f(x) = 0,65х — это линейная возрастающая функция, или прямая пропорциональность.

С увеличением независимой переменной х зависимая переменная f(x) также возрастает. В случае с функцией, предложенной выше (сумма к уплате = стоимость за единицу товара ∙ число единиц товара), число единиц товара не может принимать отрицательные значения, и часть графика, расположенная слева от 0, не имеет смысла. Существует множество других линейных функций.

Каждая из них описывает особый тип связи между двумя переменными — х и f(х), как, например, две убывающие линейные функции g(х) и h(х), графики которых представлены ниже.

Функция i(х) называется обратной пропорциональностью. В функциях такого типа при возрастании независимой переменной х значение зависимой переменной i(х) соответственно уменьшается. Например, когда х принимает значение 3, i(х) равняется 0,8/3 = 0,267.

Также существуют полиномы второго порядка. Их графиками являются параболические кривые, как, например, график функции р(х), представленный на иллюстрации.

Периодические функции широко используются при решении многих задач биржевого анализа.

* * *

Для различных объемов производства сплава составляется следующая таблица производства. Числовые данные в таблице соответствуют формуле, которую мы привели выше.

Сочетание факторов производства при выпуске алюминиево-никелевого сплава.

Любое изменение технологий предполагает изменение сочетания факторов производства и, как следствие, ведет к формированию новой таблицы производства с последующим изменением производственной функции. Каждому состоянию технологий соответствует график производства с кривыми, описывающими, как объем готовой продукции связан со значениями всех факторов, соответствующих данному состоянию технологий. Так, например, на графике внизу слева можно увидеть изменение сочетания факторов производства v1 и v2 соответствующих двум различным состояниям технологий А и В.

Кривые производительности.

Изокванты (линии равного выпуска).

С применением различных технологий для выпуска одного и того же объема продукции (например, 50 кг сплава) будут использоваться разные сочетания факторов производства.

Графики, иллюстрирующие выпуск одного и того же объема готовой продукции Q1(величины Q1, Q2, Q3, Q4 на графике вверху справа), называются изоквантами — линиями равного выпуска.

Каждая изокванта иллюстрирует различные сочетания факторов производства, позволяющие получить один и тот же объем готовой продукции Q1. Например, объем выпуска Qt можно обеспечить сочетанием 420 единиц фактора v1 и 400 единиц фактора v2 либо сочетанием 810 единиц фактора v1 и 30 единиц фактора v2.

В процессе производства возникают постоянные и переменные издержки, зависящие от объема произведенной продукции. Сумма постоянных и переменных издержек равна общим издержкам. Предельные издержки определяются как дополнительные затраты, связанные с увеличением выпуска готовой продукции на одну единицу:

Предельные издержки также выражаются производной функции издержек по объему продукции:

Для определенного объема выпуска значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке А, соответствующей этому объему выпуска.

График общих издержек, производная функции издержек и касательная к графику.

Средние издержки, или издержки на единицу продукции, определяются как результат деления общих издержек на число единиц произведенной продукции:

Например, при производстве 10 единиц продукта для каждой единицы можно рассчитать предельные и средние издержки.

Общие, предельные и средние издержки производства.

На основе этих данных можно построить кривые всех издержек производства.

Как можно видеть, средние издержки обычно намного выше предельных. Кривая предельных издержек показывает минимальные издержки на каждую единицу продукции. Точка пересечения графиков предельных издержек и средних издержек совпадает с точкой минимума средних издержек, так как если предельные издержки меньше средних, то средние издержки снижаются. После точки пересечения графиков предельные издержки превышают средние издержки, при этом последние возрастают.

Тот факт, что кривая средних издержек восходит после точки пересечения с кривой предельных издержек, служит подтверждением закона убывающей доходности. Точка пересечения этих кривых соответствует минимуму издержек, начиная с которого средние издержки неизбежно возрастают (если только не появляются новые технологии, ведущие к снижению производственных издержек). Как следствие, с ростом средних издержек доходность будет убывать.

* * *

ПРОИЗВОДНЫЕ И ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

В экономике для определения зависимости одной переменной от другой (например, предложения товара от его цены) необходимо знать, как сильно возрастает функция, описывающая связь между этими переменными, в точке А. Благодаря этому можно сравнить уровень ее вариации (роста или падения) относительно других точек кривой. Чтобы оценить уровень вариации, определяется угол наклона касательной к графику рассматриваемой функции в точке А. Этот угол определяется как угол между касательной в точке А и горизонтальной осью координат.