Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - Луис Арталь

Реальная стоимость денег при условии, что мы получаем годовой доход в размере 100 долларов в течение 5 лет при уровне инфляции в 5 %, то есть реальная стоимость 500 долларов, составит:

первый год: 100;

второй год: 100/1,05 = 95,23809524;

третий год: 95,23809524/1,05 = 90,70294785;

четвертый год: 90,70294785/1,05 = 86,38375985;

пятый год: 86,38375985/1,05 = 82,27024748.

* * *

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЧДД

Расчет ЧДД (чистой приведенной стоимости, или чистого дисконтированного дохода от инвестиционного проекта) производится следующим образом. Рассмотрим проект, требующий начальных вложений а0, который приносит ежегодный доход. Обозначив денежный поток (положительный или отрицательный) в году i через аi, срок проекта — через n лет, уровень инфляции — через r, получим приведенную стоимость дохода за второй год а2, то есть сумму денег, обладающую той же покупательной способностью: а2 = а/(1 + r). Логично, что стоимость денежной единицы во втором периоде из-за инфляции будет меньше, чем в первом.

Обобщив эти рассуждения на весь жизненный цикл проекта в n лет и сложив величины всех годовых денежных потоков, получим приведенное значение суммарного денежного потока за n лет:

Σni=1 аi  = а1 + а2  + а3 + а4 + a5 +… + аn.

Приведенный доход в каждом периоде рассчитывается следующим образом:

И так далее до года n: аn  = а1∙(1 + r)-(n-1).

Аналогично, если в нулевом году мы вложили средства i на n лет, считая с нулевого года, и каждый год начиная с первого будем получать положительный или отрицательный денежный поток а1 + а2  + а3 +… + аn, чистый дисконтированный доход от инвестиции, учитывая прогнозный уровень инфляции r, составит:

ЧДД = — a0 + a1∙(1 + r)-1 + a2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n

где а0 имеет отрицательное значение, так как инвестиция осуществляется в нулевой год.

* * *

Приведенная величина денежного потока в размере 100 долларов в год в течение 5 лет с учетом инфляции в следующие четыре года будет равна:

100 + 95,23809524 + 90,70294785 + 86,38375985 + 82,27024748 = 454,59505042.

Следовательно, приведенная величина совокупного денежного потока за пять лет будет на 9,0809899 % меньше номинала в 500 долларов.

Рассмотрим пример с вложением в размере I = 1000 000 евро в оборудование, срок службы которого составляет 10 лет. Жизненный цикл проекта равен десяти годам, считая с нулевого года, в котором осуществляется инвестирование. Прогнозный годовой доход на следующие 10 лет приведен в таблице.

Инвестор хочет знать, достаточно ли этих доходов для того, чтобы окупить вложенные средства и получить определенную прибыль, при условии что прогнозный уровень инфляции составит 5 %. По формуле ЧДД имеем:

a0 + I

ЧДД = — a0 + a1∙(1 + r)-1 + a2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n =

= -1000 000 + 15 000(1,50)-1 +16 000(1,50)-2 + 120 000(1,50)-3 + 150 000(1,50)-4 + 80 000(1,50)-5 + 1 50 000(1,50)-6 + 170 000(1,50)-7 + 180 000(1,50)-8 + 125 000(1,50)-9 + 250 000(1,50)-10 = -92 820,20 евро.

Проведя расчеты, получим для потока доходов приведенные значения, сумма которых будет равной —92 820,20. Это означает, что при данном потоке доходов инвестор не сможет окупить вложенные средства и, более того, потеряет 92 820,20 евро.

Еще одним показателем, используемым для оценки окупаемости инвестиций, является внутренняя норма доходности. Это процентная ставка доходности, при которой инвестор сможет полностью окупить вложенные средства, то есть чистый дисконтированный доход от проекта будет равен нулю, а при превышении этой минимальной ставки доходности вложение средств будет выгодным. Как правило, внутренняя норма доходности проекта сравнивается с процентной ставкой или ценой денег. Если внутренняя норма доходности меньше базовой процентной ставки, реализация инвестиционного проекта не рекомендуется. Внутренняя норма доходности (ВНД) рассчитывается для ЧДД = 0, то есть:

ЧДД = — a0 + a1∙(1 + r)-1 + a2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n= 0

где а0 = I — величина начальных вложений. Суть задачи заключается в том, чтобы найти неизвестную r, которая в этом случае будет внутренней нормой доходности.

В нашем примере значение г, при котором выполняется условие ЧДД = 0 для данных, приведенных в таблице, составляет г = 3,45 % (этот результат можно получить с помощью специальных инструментов, электронных таблиц или вручную, последовательно выполнив все необходимые расчеты).

Зарплаты зависят от соотношения предложения (со стороны рабочей силы) и спроса (со стороны компаний) на рынке труда. В разные годы были созданы различные теории, описывающие механизмы регулирования зарплат. Экономисты классической школы считали, что для выплаты заработной платы рабочим предназначается часть накопленного капитала, называемая зарплатным фондом. Величина зарплаты является частным от деления зарплатного фонда на число рабочих часов. Вопрос заключался в том, чтобы определить величину накопленного капитала и его часть, предназначенную не для расходов на оборудование, недвижимость и сырье, а на выплату зарплат.

Уровень покупательной способности заработной платы в соответствии с теориями Мальтуса стремится к уровню выживания, так как рост населения значительно опережает темпы производства продуктов питания. Этот закон позднее получил название «железный закон заработной платы». Адам Смит также был сторонником этой теории, однако признавал, что зарплаты могут расти, если увеличивается накопленный капитал, направленный на их выплату, чем объясняется разница в заработной плате в богатых и бедных странах.

Уровень зарплат зависит от величины доступного капитала, а также текущего уровня технологий.

Для разных участников рынка труда ситуация неравновесна. С одной стороны находятся предприятия, которые диктуют условия: во-первых, они располагают огромными экономическими ресурсами (капиталом), во-вторых, капитал сконцентрирован в немногочисленных крупных компаниях. С другой стороны находятся рабочие, которым необходимо выжить. Их позиция очевидно слабее, и они полностью зависят от спроса, предъявляемого крупными компаниями.

* * *

ДЖОН МЕЙНАРД КЕЙНС (1883–1946)

Многие экономисты вслед за Джоном Мейнардом Кейнсом заинтересовались темой безработицы, так как она имеет значительные социальные последствия. Безработица напрямую зависит от ситуации на рынке труда, где для каждого уровня спроса и предложения определяется уровень зарплат. Если бы рынок был полностью свободным, а конкуренция — совершенной, то определенному уровню спроса на рабочую силу со стороны компаний соответствовал бы определенный уровень предложения и зарплат, при котором достигалась бы точка равновесия. Точка равновесия определяла бы минимальный уровень зарплат, при котором рабочие были бы готовы продавать свой труд.

Маркс считал, что при капитализме рабочая сила — это одна из форм товара, однако, по мнению Кейнса, это не совсем так: определение уровня зарплат имеет важные общественные последствия, поэтому рабочую силу нельзя рассматривать как обычный товар. Кейнс был первым, кто определил занятость как макроэкономическую переменную и провел экономический анализ с точки зрения спроса.

Джон Мейнард Кейнс (справа) беседует с Гарри Декстером Уайтом, представителем министерства финансов США, на открытии Бреттон-Вудской конференции 1944 года.

* * *

Плакат 1911 года, изображающий эксплуатацию рабочих того времени.

Джон Кеннет Гэлбрейт в книге «Американский капитализм» (1956) проанализировал, как предприятия объединяются в гигантские монополии, которые он называл техноструктурами, и начинают играть определяющую роль в формировании цен и зарплат. В ответ на натиск корпораций в обществе возникает противодействующая сила, которую Гэлбрейт назвал уравновешивающей. Она стремится приблизить ситуацию на рынке труда к совершенной конкуренции. Источниками этой силы являются объединения поставщиков, кооперативы и потребительские союзы. Особенно важна уравновешивающая роль профсоюзов, государства и международных организаций, в частности Международной организации труда.