Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - Луис Арталь

Сумма Σ 6k=3 xk означает х3 + х4 + х5 + х6,

Cумма Σ nj=m xj означает хm + хm+1 … + хn-1 + хn.

Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.

Так, Σ mi=1 xi = Σ mj=1 xj = Σ mk=1 xk

Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ mk=1 xk слагаемыми являются хk.

* * *

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх2 — 6х3 = -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

х кг вес золота 975-й пробы

(2 — х) кг вес золота 750-й пробы

х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900

х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙х = 1,800

х∙0,975 — 0,750х = 1,800 — 2∙0,750

х∙0,225 = 1,800 — 1,500

х∙0,225 = 0,300

х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах2 + Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х∙(х + 20) = 2400; х2 + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<= «меньше либо равно»

< «меньше» (строго)

>= «больше либо равно»

> «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

Σ nj=0 (1 + 2j) = (1 + 2∙0) + (1 + 2∙1) + (1 + 2∙2) + (1 + 2∙3) + (1 + 2∙4) + (1 + 2∙5) + (1 + 2∙6) + (1 + 2∙7) + (1+ 2∙8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма Σ 5j=2 2j равняется 22 + 23 + 24 + 25 = 4 + 8 +16 + 32.

Сумма Σ 3l=1 (l+1)∙3l = 2∙З1 + 3∙З2 + 4∙33 = 6 + 27 + 108.

* * *

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: {х1, х2, …,хn}. Между значениями х1 и х2 нет никакого другого значения переменной х.

Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t <= }. Очень часто для решения различных задач, связанных с функциями, определенными на непрерывных множествах, требуется выполнить операцию интегрирования , как, например, в случае с функцией вероятности или нормальным распределением вероятности. Когда речь идет о дискретных переменных, операцией, аналогичной интегрированию, является сложение.

Функция f(t) непрерывной переменной t, определенная на множестве {a <= t <= b}.

Функция у(х) дискретной переменной х, определенная на множестве {х1, х2, х3, x4}.

Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х1, х2, х3, x4.Если мы хотим работать с множеством из n элементов (n может изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться {х1, х2…. хn-1, xn}. Так, хn - 1 обозначает элемент, идущий перед хn, последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается хi. Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p1, р2, р3 и р4, а запрошенные объемы каждого товара — q1, q2, q3 и q4.

* * *

Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется р и q. А поскольку сумма их вероятностей равна р + q = 1, следовательно, q = 1 — р.

Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так:

Функция, позволяющая вычислить вероятность того, что на п вопросов будет дано от 0 до k ответов «да», равна сумме вероятностей, последним слагаемым в которой будет Р(k). Эта же формула записывается в следующем виде:

В похожем виде записываются статистические функции, к примеру:

Эта же формула в виде ряда будет записываться так:

Аналогичный вид имеют статистические формулы:

Инфляция — это повышение цен на товары и услуги, при которой зарплаты или доходы потребителей не меняются и, таким образом, их покупательная способность снижается. Это означает, что на ту же сумму денег, что и раньше, можно купить меньше товаров. Чтобы измерить инфляцию, необходимо проанализировать изменения цен. Высокая инфляция негативно сказывается на экономике страны, так как уровень доходов потребителей и домохозяйств снижается, одновременно с этим ухудшается конкурентоспособность страны на мировом рынке. Следовательно, инфляцию необходимо контролировать. Стабильность цен — одна из необходимых характеристик здоровой экономики государства.

Колебания цен измеряются с помощью индексов. При расчете инфляции рассматриваются средние цены потребительской корзины товаров и услуг, в которой различным ценам присваиваются весовые коэффициенты. Выбранный год рассматривается в качестве исходного, и ему присваивается значение 100, на основе которого рассчитывается рост средневзвешенных цен в последующие годы.

Так, например, если в качестве базового выбран нулевой год с индексом 100, и в последующие годы зарегистрированы приведенные ниже показатели роста цен, индекс цен изменится так: