Красота физики. Постигая устройство природы - Фрэнк Вильчек

См. Энергия.

Векторные поля независимо от их природы можно математически рассматривать как представление потока обычной текучей среды, такой как воздух или вода. Математически воображаемый поток в каждой точке пространства имеет скорость, пропорциональную значению фактического векторного поля в этой точке. В этой модели поток через поверхность – это просто показатель скорости, с которой жидкость проходит через эту поверхность (с точностью до знака, что мы сейчас и обсудим). Это определение потока имеет смысл независимо от того, есть ли у этой поверхности граница.

Таким образом, если мы рассмотрим текущую реку и представим поверхность, расположенную перпендикулярно течению, то поток через эту поверхность будет существенным. В то же время поток будет несущественным через поверхности, повернутые по большей части вдоль потока.

Теперь вам нужно обратиться к статье Циркуляция – потому что, вероятно, вы еще этого не сделали! Дело в том, что я сейчас заполню пробел, касающийся одной последней тонкости о взаимосвязи этих двух понятий. После этого вы будете знать все, чтобы действительно понять, что такое уравнения Максвелла, используя только геометрические понятия и образы.

В двух уравнениях Максвелла нам нужно рассматривать поверхность, ограниченную замкнутым контуром и сравнивать циркуляцию чего-то одного по этому контуру с потоком чего-то другого через эту поверхность. (В законе Фарадея мы связываем циркуляцию электрического поля с потоком магнитного поля; а в законе Ампера – Максвелла мы связываем циркуляцию магнитного поля с потоками электрического тока и электрического поля.)

Чтобы подсчитать циркуляцию для использования в этих уравнениях, мы должны определиться с направлением, в котором мы движемся по контуру. Есть две возможности – и ответы, которые они дают для циркуляции, различаются знаком. Чтобы уравнения Максвелла оставались одинаковыми независимо от нашего выбора, мы должны гарантировать, что знак потока через поверхность также меняется, когда мы меняем направление обхода контура, ограничивающего эту поверхность (и таким образом – знак циркуляции).

С этой целью мы используем простое правило правой руки: если пальцы вашей правой руки следуют направлению контура, то в определении потока мы считаем перенос жидкости положительным, когда он происходит в направлении вашего большого пальца, и отрицательным в случае обратного направления[112]. Если мы следуем этому правилу, то изменение направления обхода контура изменит одновременно и знак циркуляции, и знак потока, и таким образом взаимосвязь между циркуляцией и потоком останется неизменной.

В двух других уравнениях Максвелла (описывающих электрический и магнитный законы Гаусса) мы рассматриваем поток через замкнутую поверхность. В таком случае мы считаем поток положительным, если он переносит жидкость изнутри поверхности вне ее, и отрицательным в противном случае.

Преобразования Галилея – это вид преобразований, который мы совершаем над системой, когда мысленно прибавляем или вычитаем некоторую постоянную скорость из движения всех ее частей. Галилей, как это описано в основном тексте, описывал красивый мысленный эксперимент, который убедительно показывает, что после преобразований Галилея физические законы остаются неизменными, т. е. инвариантными: если вы находитесь в закрытой каюте без окон на корабле при спокойной погоде, то из того, что вы наблюдаете и ощущаете внутри каюты, невозможно сказать, как быстро движется корабль. Гипотеза о том, что законы физики инвариантны относительно преобразований Галилея, или, по-другому, о том, что законы физики обладают галилеевой симметрией, является одним из столпов специальной теории относительности. См. также Буст.

Принцип запрета Паули в его первоначальной форме утверждает, что два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Этот принцип применим ко всем фермионам: никакие два тождественных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Нежелание электронов и фермионов в целом делать одно и то же приводит к эффективному отталкиванию между ними. Это отталкивание является чисто квантово-механическим эффектом, который дополняет более привычные силы, такие как электрические силы.

Принцип запрета является существенным для понимания атомов, поскольку он не дает электронам в атоме сгрудиться около его ядра, несмотря на мощное электрическое притяжение последнего. Внешние электроны, удаленные от ядра, открыты влиянию соседних атомов. Таким образом принцип запрета делает возможной химию.

Проективная геометрия – это обширная область математики, тесно связанная с художественным изучением перспективы. Ее основная задача – понять связи между изображениями, которые мы получаем, когда смотрим на один и тот же объект с различных точек наблюдения (иначе говоря, под различными ракурсами). Что общего имеют эти изображения? Как можно воспользоваться информацией из одного такого изображения, чтобы построить другие? Вот примеры вопросов, которые решаются в проективной геометрии. Проективная геометрия демонстрирует нам интересное применение глубоких идей, включая преобразование, симметрию, инвариантность, относительность и дополнительность, как объясняется в основном тексте.

Это слово используется в математике и физике очень гибко. Оно имеет не одно, а несколько различных точных технических определений в пределах различных областей знаний. Во всех случаях проекция – это отображение одного пространства на другое, с помощью которого информация о первом пространстве представляется в новой форме. Часто (но не всегда) часть информации в этом процессе теряется. В этой книге я использовал слово «проекция» достаточно неформально, без технической скрупулезности, в нескольких тесно связанных смыслах:

• Проекция теней в метафоре Пещеры Платона. Здесь тени создают двумерные бесцветные версии объектов, которые они представляют, и много информации теряется.

• Проекция, которую создают наши глаза, наше зрение. Сетчатка наших глаз получает двумерный образ трехмерного мира. Фокусировка хрусталиком глаза позволяет создавать изображения, в которых (в случае идеального зрения) весь свет, выходящий из некоторой точки рассматриваемого объекта, фокусируется в очень небольшую область на сетчатке, сохраняя таким образом важную пространственную информацию.

Как мы подробно обсуждали в главе «Максвелл II», входной электромагнитный сигнал, который мы называем светом, несет в себе гораздо больше информации, чем извлекают наши глаза.

Человеческое зрение выполняет проекцию бесконечномерного пространства интенсивностей спектральных цветов на трехмерное пространство воспринимаемого цвета и отбрасывает информацию о поляризации.

• Геометрическая проекция: проекция поверхностей правильных многогранников на описанные вокруг них сферы путем продолжения линий из центра до поверхности; проекция световых лучей на холст в геометрически точном рисовании (вдохновленная живописью наука о перспективе); проекция поверхностей, таких как участки местности или даже вся поверхность Земли, на плоские листы бумаги при создании географических карт.

• Цветовая проекция в пространстве цветовых свойств. Например, на цветной вклейке X мы спроецировали трехмерное пространство цветовых свойств, координатами которого являются интенсивности R, G, B – красного, зеленого и синего цвета соответственно – на двумерное пространство свойств, просто отбросив одну из координат.

Изучая человеческое восприятие цветов, мы обнаруживаем, что любой воспринимаемый цвет может быть представлен по существу единственным образом – путем смешения трех основных цветов, например, красного, зеленого и синего. Различные интенсивности красного, зеленого и синего описываются тремя положительными действительными числами, и каждая такая комбинация интенсивностей соответствует своему особому воспринимаемому цвету. Мы можем интерпретировать эти тройки как координаты в трехмерном пространстве свойств – пространстве воспринимаемых цветов.