Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

В. Ведущий открывает дверь Б и показывает, что за ней – коза. Участник выбирает дверь В и получает машину.

Все эти сценарии равновероятны. Однако в двух из трех случаев участник выигрывает машину. Если же он не изменяет своего решения, то выигрывает лишь в одном случае из трех. Выбрав другую дверь, он действительно удваивает свои шансы на победу!

Если вы не вполне можете осознать этот результат или поверить в него, не беспокойтесь. Такое же объяснение было напечатано в журнале, и более 10 000 человек, в том числе сотни математиков, написали в редакцию, утверждая, что оно ошибочно. Даже Пол Эрдёш, один из величайших математиков XX века, заблуждался по этому вопросу, пока как следует не обдумал задачу.

Если я вас все еще не убедил, подумайте вот о чем. Представьте себе, что дверей не три, а миллион. Ведущий знает, за какой из них спрятан приз. Участник выбирает дверь наудачу. Вероятность того, что он выберет правильную дверь, – одна миллионная. Затем ведущий открывает все остальные двери кроме одной: за ними обнаруживаются 999 998 коз. Закрытыми остаются две двери, та, которую выбрал играющий, и та, которую ведущий еще не открыл. Следует ли теперь участнику изменить свой выбор?

Дело в том, что, открывая дверь с козой, ведущий дает участнику информацию. Ведущий знает, где находятся козы. Если изменить условия, может измениться и решение. Предположим, в игре два участника, играющие друг против друга. Первый выбирает дверь. Второй получает право открыть одну из оставшихся. За ней оказывается коза. Как следует поступить первому участнику? Как ни странно, хотя кажется, что он располагает той же информацией (есть две двери, за одной – машина, за другой – коза), теперь вероятность выигрыша в случае, если первый участник останется верен своему выбору, составляет 50 процентов. Разница в том, что теперь есть еще один сценарий, который следует учесть: если за выбранной первым участником дверью находится коза, второй мог открыть дверь, за которой автомобиль. В предыдущем варианте такого случиться не могло, потому что ведущий всегда открывает дверь, за которой находится коза (благо он знает, за какими дверями спрятаны козы). Представьте себе вариант с миллионом дверей. Второй участник открывает 999 998 дверей, и за всеми оказываются козы. Из-за такого поразительного невезения он так и не получает автомобиль, но первому участнику его невезучесть не говорит об оставшихся закрытыми дверях ровным счетом ничего. Шансы найти машину за любой из двух последних дверей – пятьдесят на пятьдесят.

Преподобный Томас Байес

Понятие вероятности кажется вполне осмысленным, когда речь идет о событиях будущего. Если я собираюсь бросить две игральные кости, то в 1 из 6 возможных сценариев сумма выпавших на них чисел будет равна 7. Эта вероятность одинакова для меня и для вас, потому что мы оцениваем нечто такое, что произойдет в будущем.

Но что, если вы уже бросили кости, они упали, а вы не показываете мне результат? Бросок состоялся. Он уже в прошлом. На костях гарантированно выпало некое число – либо равное, либо не равное 7. Никаких других вариантов нет. Беда только в том, что мне результат неизвестен. Тем не менее мы можем оценить его вероятность, хотя некоторые в этом и сомневаются. Ваша оценка вероятности отличается от моей, потому что у вас есть информация. Моя вероятность – это численное выражение отсутствия у меня знания о положении вещей. Внезапно оказывается, что вероятность зависит от количества информации, имеющейся у каждого из нас. Получается численное выражение эпистемологической неопределенности, того, что мы в принципе можем знать, но на самом деле не знаем.

По мере того как я получаю дополнительную информацию, моя оценка вероятности изменяется. Но разработка математического аппарата, позволяющего выразить значения вероятности, которые я должен присваивать событиям с учетом новой информации, привела к возникновению нового направления научной мысли.

Например, бросьте на стол случайным образом белый бильярдный шар, заметьте его положение незаметно для меня и уберите шар со стола. Если мне нужно провести линию в соответствии с моими догадками о том, где мог оказаться шар, я могу просто провести ее по центру стола, так как никакой информации у меня нет. Но что, если я брошу на стол пять красных шаров, а вы скажете мне, между какими из них оказался ваш белый? Предположим, три красных шара находятся с одной стороны от него, а два – с другой. Это сдвинет предполагаемое положение к тому краю стола, ближе к которому лежат два шара. Но на сколько именно мне следует сдвинуть линию, исходя из этой новой информации?

Некоторые теории утверждают, что линию нужно провести на уровне двух пятых длины стола. Но один возмутитель спокойствия в теории вероятностей, Томас Байес, заявил, что на самом деле линию следует провести на уровне трех седьмых, потому что анализ этих теорий не учитывает некоторых дополнительных данных – а именно того обстоятельства, что до получения новой информации случайно брошенный шар мог с 50-процентной вероятностью оказаться как в левой, так и в правой части стола. Байес определяет, где провести линию, учитывая еще и эти два дополнительных шара.

Байес был священником-нонконформистом в приходе Танбридж-Уэллс, но в то же время и своего рода математиком-любителем. Он умер в 1761 году, но среди оставшихся после него документов была рукопись, в которой излагались его идеи об определении вероятности событий на основе лишь частичной информации. Королевское общество опубликовало эту рукопись под заголовком «Очерк к решению одной задачи теории шансов» (An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances). Идеи, изложенные в этой работе, оказали огромное влияние на современные методы определения вероятности событий, о которых мы располагаем ограниченной информацией.

В судебных процессах юристы пытаются определить, какова вероятность того, что тот или иной человек виновен в совершении преступления. Человек может быть либо виновным, либо невиновным. Определение вероятности кажется делом в некотором смысле весьма странным. Такая вероятность должна выражать меру нашей эпистемологической неуверенности. Но Байес считал, что вероятности изменяются по мере учета вновь получаемой информации. Присяжные и судьи часто не понимают тонкостей идей Байеса: доходит до того, что судьи пытаются исключить такие математические методы из рассмотрения, объявив, что суд не