Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

необходимости ходить между геттингенской обсерваторией и лабораторией Вебера. Он протянул между ними телеграфную линию, позволявшую переговариваться, не встречаясь лично. Эта линия длиной около трех километров проходила над городскими крышами. Гаусс и Вебер понимали, какие возможности в области связи на расстоянии открывает электромагнетизм. Они разработали код, в котором каждая буква обозначалась последовательностью положительных и отрицательных электрических импульсов. Было это в 1833 году, за несколько лет до того, как аналогичная идея пришла в голову Сэмюэлу Морзе.

Гаусс считал это изобретение своего рода любопытной безделушкой, но Вебер понимал важность таких технологий: «Когда весь земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет выполнять функции, подобные функциям нервной системы в человеческом теле, отчасти в качестве транспортного средства, а отчасти – в качестве средства молниеносного распространения идей и ощущений». Учитывая стремительное распространение телеграфа, Гаусса и Вебера можно считать прародителями интернета. Их сотрудничество увековечено в памятнике им обоим, стоящем в Геттингене.

Как и предсказывал Вебер, сегодня эта сеть охватывает гораздо большие пространства, нежели несколько километров проволоки, которые двое ученых протянули по крышам Геттингена. Более того, она стала настолько сложной, что поиск шорткатов в сетях стал одной из основных задач современной математики. Эти сети могут состоять не только из проводов, но и из мостов, как я выяснил во время недавней поездки в Россию.

Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель

Несколько лет назад, когда я летел в Калининград, я постарался сделать так, чтобы на короткий перелет из Санкт-Петербурга у меня было место у окна. Я совершал паломничество в город, ставший местом действия одного из рассказов, на которых воспитываются все математики, – рассказа об одном из самых изобретательных шорткатов во всей истории математики.

Подлетая к Калининграду, маленькому эксклаву Российской Федерации, отделенному от ее основной территории Литвой и Польшей, я видел реку Преголю, протекающую через город. У реки есть два рукава, сходящиеся в Калининграде; от этого места она течет дальше на запад, к месту впадения в Балтийское море. В центре города расположен остров, обтекаемый рукавами реки. В самом сердце математической истории, прославившей Калининград, как раз и находятся мосты, соединяющие берега реки друг с другом и с этим островом.

История эта относится к XVIII веку, когда у города было другое название – Кёнигсберг. Он был родиной Иммануила Канта и знаменитого математика Давида Гильберта. В то время он входил в состав Пруссии, и через Преголю были перекинуты семь мостов[117]. Одним из любимых занятий обитателей города стало следующее развлечение: по воскресеньям после обеда они пытались найти такой маршрут, который проходил бы по всем мостам, но только по одному разу. Но как бы они ни старались, всегда находился один мост, до которого они добраться не могли. В самом ли деле это было невозможно, или все же был какой-нибудь способ, позволявший перейти через все семь мостов, до которого горожане просто не додумались?

Жителям Кёнигсберга казалось, что нет никакого способа избежать утомительной ходьбы по городу, пробуя поочередно все маршруты, проходящие по мостам, пока не будут исчерпаны все возможные варианты. При этом всегда оставалось подспудное ощущение, что, возможно, какой-нибудь хитроумный путь, дающий решение этой задачи, так и остался незамеченным.

Рис. 9.2. Семь мостов через реку Прегель в Кёнигсберге XVIII века

Раз и навсегда эта головоломка была разгадана только после явления одного из моих математических героев, Леонарда Эйлера: перейти через все мосты по одному, и только одному, разу было невозможно. Эйлер пришел к этому выводу, открыв шорткат, избавляющий от необходимости перебирать все возможные маршруты обхода мостов.

В главе 2 я уже познакомил вас со швейцарским математиком Леонардом Эйлером, когда показывал открытую им поразительную формулу, связывающую пять величин из числа самых главных в математике. «Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель», – писал о значении Эйлера в математике один из самых выдающихся математиков Франции Пьер-Симон Лаплас. Большинство математиков согласились бы с этой оценкой; его считают одним из величайших наравне с Гауссом. Был его поклонником и сам Гаусс: «Изучение работ Эйлера останется лучшей школой в разных отделах математики, и ничто не сможет его заменить».

Свершения Эйлера были многочисленны и разнообразны; к ним относится и шорткат к решению задачи о мостах Кёнигсберга, о которой он впервые узнал, когда служил профессором российской Императорской академии наук в Санкт-Петербурге. Эйлер не был коренным петербуржцем: он приехал туда из своего родного Базеля, в котором ему не удалось найти работу для математика. По-видимому, все подходящие должности уже были заняты. В этом небольшом городе наблюдался удивительный избыток математиков. Что еще удивительнее, все они происходили из одного и того же семейства – семейства Бернулли.

Более того, в Базеле не помещались даже все Бернулли. Даниил Бернулли перебрался в Санкт-Петербург еще раньше; именно его приглашение и обеспечило Эйлеру работу в академии. Перед отъездом Эйлера в Петербург Даниил прислал ему письмо с перечнем благ цивилизации, которых там недоставало: «Привезите, пожалуйста, пятнадцать фунтов кофе, фунт самого лучшего зеленого чая, шесть бутылок бренди, двенадцать дюжин отменных курительных трубок и несколько дюжин колод игральных карт».

Отягощенный всеми этими припасами, Эйлер отправился из Базеля в Петербург и, проделав семинедельный путь на корабле, в почтовой карете и пешком, прибыл туда и вступил в должность в мае 1727 года.

Кёнигсбергские мосты

Сперва задача о кёнигсбергских мостах была для Эйлера не более чем безделкой, позволявшей отвлечься от всех тех сложных вычислений, которыми он занимался. В 1736 году он изложил свои соображения об этой задаче в письме к придворному астроному в Вене Джованни Маринони: «Вопрос этот в высшей степени банален, но мне показалось достойным внимания то обстоятельство, что для его разрешения оказалось не достаточно ни геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета. В связи с этим мне случалось задумываться, не принадлежит ли он к сфере позиционной геометрии, к которой в свое время так стремился Лейбниц. Итак, после некоторых размышлений я получил простое, но совершенно обоснованное правило, применение коего помогает немедленно установить в любых примерах этого рода, возможен ли такой обход».

Важное