Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

поле нет людей с совпадающими днями рождения? Если вычислить эту величину и отнять ее от 1, получится вероятность того, что два человека с одинаковыми днями рождения на поле есть.

Игра вот-вот начнется. Команды выбегают на поле: чтобы нам было удобнее, игроки выходят по одному. Первым выбегаю я. За мной – следующий футболист. Вероятность того, что его день рождения не совпадает с моим, – 364/365. Нужно только, чтобы он не родился в тот же день, что и я, – 26 августа.

Затем выбегает следующий игрок. Его день рождения должен отличаться как от моего, так и от дня рождения второго футболиста. Поскольку остается еще 363 дня, вероятность несовпадения ни с одним из наших дней рождения равна 363/365. Вероятность же того, что среди трех уже вышедших на поле людей нет совпадений дней рождения, составляет 364/365 × 363/365.

И так далее, пока на поле не окажутся все 22 футболиста… и судья. Каждый раз, когда на поле выходит очередной человек, количество возможных дней рождения, с которыми нужно не совпасть, увеличивается. К моменту выхода судьи нужно, чтобы его или ее день рождения не совпал с 22 днями рождения тех, кто уже на поле, а вероятность такого несовпадения равна (365 – 22)/365 = 343/365.

Когда на поле окажутся все 23 человека, вероятность того, что ни у кого из них не совпадают дни рождения, можно будет вычислить по формуле:

364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 344/365 × 343/365 ≈ 0,4927.

Мы вычислили вероятность события, противоположного искомому. Теперь нужно ее перевернуть. Вероятность того, что на поле есть два человека с совпадающими днями рождения, равна 1 – 0,4927 = 0,5073. Казалось бы, невероятно, однако наличие совпадения дней рождения более вероятно, чем его отсутствие. Другими словами, в среднем в 5 из 10 матчей Премьер-лиги в каждые выходные на поле оказываются два человека с одинаковыми днями рождения.

Интересно отметить, что в реальности это число, вероятно, еще больше, потому что есть данные, что дни рождения футболистов чаще выпадают на сентябрь и октябрь. Почему? Те, кто родился ближе к началу учебного года, с большей вероятностью оказываются более развитыми физически, чем их одноклассники, родившиеся, как я, в августе[105]; у них больше шансов пройти отбор в школьную футбольную команду и набраться опыта в ее играх. Я живо помню, как недоумевал, почему я никогда не побеждал в школьных забегах. Но однажды, когда в нашем городе была летняя ярмарка, я принял участие в соревнованиях по бегу, которые проводили по возрастным группам. Поскольку было лето и мой день рождения еще не наступил, а все мои одноклассники свои уже отпраздновали, я попал в забег с ребятами, учившимися на класс младше. К огромному моему изумлению, я оставил соперников позади и впервые в жизни пришел к финишу первым.

Но и после этого хилому юному дю Сотою пришлось сидеть в библиотеке, пытаясь стать асом математики.

Шорткат в казино

Математики пользуются большим спросом в Лас-Вегасе, потому что казино постоянно ищут все новые шорткаты, которые помогли бы увеличить их преимущество в играх. Взять, к примеру, столы для игры в крэпс, модифицированного варианта той же игры, которую наблюдал Пипс. Делать ставки, играя в крэпс, – дело очень сложное из-за динамики этой игры, но в любой момент можно сделать ставку на то, что при следующем броске костей выпадет семь. Я уже объяснял, что в среднем такое происходит в 1 случае из 6. Однако, если вы поставите на этот исход доллар и выиграете, казино заплатит вам всего 4 доллара в дополнение к вашей 1-долларовой ставке. Если бы игра была честной, вам следовало бы заплатить 5 долларов. Такая ставка – одна из худших из всех, какие можно сделать в игре в крэпс, потому что она дает заведению преимущество 16,67 процента. Речь идет о прибыли, которую казино (в среднем) получает каждый раз, когда игрок делает ставку.

Если вам все же совершенно необходимо поставить на «семерку», есть лучший способ, позволяющий уменьшить преимущество заведения. Нужно разделить ставку натрое. Вы делаете не одну ставку на число 7, а сразу три: первую на то, что на костях выпадет 1 и 6, вторую – на 2 и 5, а третью – на 3 и 4. Такая ставка называется «хоп-бет»[106]. Хотя в совокупности три эти ставки означают то же, что и ставка на сумму, равную 7, выплата по каждой из них выгоднее, чем по ставке на «семерку». В этом случае преимущество заведения при каждой ставке составляет (в среднем) всего 11,11 процента.

Все игры, в которые играют в Лас-Вегасе, были тщательно проанализированы, чтобы обеспечить выигрыш заведения в долговременной перспективе, но игрок может, используя инструменты, которые разработали Паскаль и Ферма, находить места, в которых у него появляются лучшие шансы потерять деньги медленнее, чем где бы то ни было еще.

Например, в игре в крэпс есть ставка, по которой заведение выплачивает в зависимости от вероятности выигрыша. Это почти что единственная имеющаяся в казино возможность играть по правилам, не дающим преимущества заведению. В игре в крэпс игрок бросает кости и устанавливает целевое число. Оно должно быть равно 4, 5, 6, 8, 9 или 10. Если выпадает 2, 3, 7, 11 или 12, партия заканчивается. В случае 7 или 11 выигрывает игрок, а 2, 3 и 12 считаются проигрышными числами; случаи, когда выпадают они, называются «крэп». Если целевое число установлено, цель игрока (сделавшего такую ставку) – выкинуть это число еще раз прежде, чем выпадет 7.

Если поставить на то, что целевое число выпадет до появления «семерки», такая ставка не дает преимущества заведению. Предположим, целевое число равно 4. Если поставить 1 доллар на то, что 4 выпадет еще раз раньше, чем 7, и это произойдет, казино выплатит сверх 1-долларовой ставки еще 2 доллара, то есть всего 3. Это в точности соответствует вероятности такого события. Число 4 дают три комбинации костей, а число 7 – шесть, то есть такая ставка выигрывает один раз из трех. По этой ставке казино платит, не подкручивая соотношение вероятностей в свою пользу. Этот вероятностный шорткат не помогает разбогатеть, но