Краткий курс по статистике - Коллектив авторов

☞ средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:

4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.

Формула расчета степенной средней:

где xi – величины, для которых исчисляется средняя;

– средняя, где имеет место осреднение индивидуальных значений;

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.

Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака:

Средняя гармоническая взвешенная величина:

где ω – значения сводного, объемного, выступающего как признак-вес показателя.

Рассчитывается, когда имеются данные об объеме определяющего показателя, т. е. произведения осредняемого признака и признака-веса.

Также рассчитывается при наличии сведений об индивидуальных значениях осредняемого признака при отсутствии отдельных значений признака-веса.

Средняя степенная при показателе степени к = 0 становится средней геометрической величиной.

5. К основным видам средних геометрических величин относятся средняя геометрическая невзвешенная и средняя геометрическая взвешенная величины. Расчет средней геометрической невзвешенной величины: если показатель степени k = 0, то формула средней степенной

где П(хi) – произведение индивидуальных значений осредняемого признака.

Применяется при наличии n коэффициентов роста. Индивидуальные значения признаков при этом становятся относительными величинами динамики (построены в виде цепных величин как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики).

Средняя геометрическая невзвешенная величина характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая взвешенная применяется в случае, если темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов:

где – средняя геометрическая взвешенная (средний темп прироста);

х – количество периодов, при которых темпы роста оставались неизменными.

6. Средняя квадратическая – средняя степенная при показателе степени k = 2.

Различают следующие основные виды средних квадратических величин: средняя квадратическая невзвешенная, средняя квадратическая взвешенная.

Средняя квадратическая невзвешенная

используется при расчете степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической. Средняя квадратическая взвешенная:

Все формы средней (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т. д.) образованы от единой степенной средней и отличаются друг от друга показателями степени k.

Правильность расчета средней величины можно проверить с помощью правила мажорантности: чем выше степень рассчитываемой формы средней величины, тем больше значение средней:

9. Медиана и мода. Абсолютные и относительные показатели вариации

1. Второй большой класс средних величин – структурные средние, используемые для определения структуры совокупности. К ним относятся мода и медиана. В отличие от степенных средних, рассчитывающихся на основе использования всех вариантов значений признака, медиана и мода характеризуют величину варианта, занимающего определенное среднее положение.

Для определения понятий моды и медианы требуется определение вариационного ряда. Построение ряда – процесс упорядочения количественного распределения элементов совокупности по значениям признака с последующим подсчетом числа элементов совокупности с этими значениями.

Выделяют следующие основные виды вариационного ряда по количественному признаку:

☞ ранжированный;

☞ дискретный;

☞ интервальный вариационный.

Ранжированный ряд – распределение отдельных элементов совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Дискретный ряд – распределение, основу которого составляют признаки с прерывным изменением, так называемые дискретные признаки – признаки, принимающие только конечное число определенных значений. Интервальный вариационный ряд – распределение признаков, имеющих непрерывное изменение, которые в определенных границах могут принимать любые значения.

Медиана (Ме) – величина, соответствующая находящемуся в середине ранжированного ряда варианту.

Для нахождения медианы необходимо определить ее положение в ранжированном ряду.

Положение медианы (NМе) в ранжированном ряду определяется:

где n – число единиц в совокупности.

В медианном интервале сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений. Численное значение медианы:

где х0 – нижняя граница интервала;

h – величина интервала;

n – число членов ряда;

Σ(m – 1) – сумма накопленных членов ряда, предшествующих медианному;

nМе – частота медианного интервала.

Мода (Мо) – значение признака, наиболее часто встречающегося у единиц совокупности.

В дискретном ряду модой будет вариант с наибольшей частотой. Для определения моды сначала определяют модальный интервал, т. е. интервал, имеющий наибольшую частоту.

Значение моды определяется по формуле:

где x0 – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

nm – частота модального интервала;

nm—1 – частота интервала, предшествующего модальному;

nm+1 – частота интервала, следующего за модальным.

2. Вариация – одна из важнейших категорий, применяемых в статистической науке, поскольку явления неизменные в статистике не рассматриваются. Также под вариацией понимают изменчивость только явлений, на которые оказывают влияние внешние факторы.

Вариация (лат. variatio – различие, изменение, колеблемость) – числовые значения признаков единиц совокупности, отличающиеся друг от друга.

Исследование вариации позволяет определить уровень зависимости изучаемого явления от прочих факторов (оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям); определить уровень однородности изучаемого явления; изучить явления, протекающие в обществе, характерные высоким уровнем их изменчивости.

3. В статистике принято различать следующие основные виды вариации:

☞ альтернативная – признак может принять только одно из двух, противоположных по своей сути, значений;

☞ систематическая – изменение признака в определенном направлении, не обусловленное внутренними законами развития исследуемого явления;

☞ случайная – изменчивость признака непредсказуема.

Показатели вариации бывают относительными и абсолютными (непосредственно характеризующими изменчивость исследуемой совокупности).

Выделяют несколько основных групп абсолютных показателей вариации.

Размах вариации (R), или амплитуда вариации, показывает пределы изменчивости признака; это разность между максимальной величиной признака (xmax) и минимальной величиной признака (xmin):

R = xmax – xmin.

К группе средних величин (групповых и общих) относятся: степенные средние величины (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т. д.); структурные средние величины (мода и медиана).

Среднее линейное отклонение () учитывает различия всех единиц исследуемой совокупности. Определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений, взятых по модулю, от средней. Различают простое (невзвешенное) и взвешенное среднее линейные отклонения.