7. Физика сплошных сред - Ричард Фейнман

(Одна диагональ сокращается, а другая удлиняется.)

Часто деформацию сдвига удобно описывать с помощью угла «искажения» кубика q, показанного на фиг. 38.7.

Фиг. 38.7. Напряжение сдвига q равно 2DD/D.

Из геометрии фигуры вы видите, что горизонтальный сдвиг б верхнего края равен Ц2DD, так что

Напряжение сдвига g определяется как отношение тангенциаль­ной силы, действующей на грань, к площади грани g=G/A. Воспользовавшись уравнением (38.11), мы из (38.12) получаем

Или, если написать это в форме

Напряжение = ПостояннаяXДеформация

g=mq. (38.13)

Коэффициент пропорциональности m называется модулем сдвига (или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через Y и s:

Кстати, модуль сдвига дол­жен быть положительным, иначе мы бы могли полу­чить энергию от самопро­извольного сдвига кубика. Из уравнения (38.14) очевидно, что постоянная а должна быть больше -1. Теперь мы знаем, что о заключена между -1 и 1/2, но на практике, однако, она всегда больше нуля. В ка­честве последнего примера состояний подобного типа, когда напряженность постоянна по всему материалу, давайте рассмот­рим задачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно. (Технически немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — это та же самая за­дача.) Что при этом происходит? На брусок должны действо­вать боковые силы, которые препятствуют изменению его тол­щины,— силы, которых мы не знаем непосредственно, но ко­торые следует вычислить. Эта задача того же самого сорта, что мы решали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как это показано на фиг. 38.8.

Фиг. 38.8. Растяжение без сокращения бокового размера.

Мы вычислим изменение размеров и подберем та­кие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались по­стоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений

Но поскольку по условию Dlу и Dlz равны нулю, то уравнения (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связыва­ющие Fyи Fzс Fx. Совместно решая их, найдем

а подставляя (38.18) в (38.15), получаем

Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по s, т. е.

Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на не­которую сложную функцию s. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше едини­цы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становятся жестче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.

§ 3. Кручение стержня; волны сдвига

Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различ­ные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скру­ченный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных при­борах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знае­те, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств ма­териала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии.

На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, облада­ющий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол j по отношению к другому.

Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилин­дрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).

Если мы хотим связать де­формацию с тем, что уже известно, то стержень можно предста­вить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r(мень­шего, чем в) и толщиной Dr, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент ци­линдра сдвигается, а угол сдвига q равен

q=rj/L.

Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравне­ния (38.13)]

Напряжение среза равно тангенциальной силе DF, дейст­вующей на конец квадратика, поделенной на его площадь Dl/Dr (см. фиг. 38.9, б):

g=DF/DlDr.

Сила DF, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил Dt, равный

Dt=rDF=rgDlDr. (38.22)

Полный момент t равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все Dl составляли 2pr, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен

гg(2pr)Dr. (38.23)

Или, используя уравнение (38.21),

Мы получили, что жесткость t/j пустотелой трубы по отноше­нию к кручению пропорциональна кубу радиуса r и толщине Dr и обратно пропорциональна его длине L.

Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой се­рии таких концентрических труб, каждая из которых закруче­на на угол j (хотя внутренние напряжения в каждой трубе раз­личны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержня

где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После ин­тегрирования получаем

Если закручивать стержень, то его момент оказывается про­порциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.

Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна кручения.

Фиг. 38.10. Волна кручения в стержне (а) и элемент объема стержня (б).

Это явление более интересно, нежели простое стати­ческое скручивание. Посмотрим, можем ли мы понять, как это происходит.

Пусть z — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для статического закручивания момент сил на всем протяжении стержня один и тот же и пропорционален j/L — полному углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна дj/дz. Если кручение вдоль стержня неравно­мерное, то уравнение (38.25) следует заменить таким:

Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины Dz, который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10, б. На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент t(z), а на конце 2— другой момент сил t(z+Dz). Если величина Dz достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать

Полный момент сил Dt, действующий на маленький от­резок стержня между z и Dz, равен разности t(z) и

t(z+Dz),

или

Dt=(дt/дz)Dz.

Дифференцируя уравнение (38.26), получаем

Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня. Масса его равна

где r — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен mr2/2; обо­значая момент инерции нашего отрезка через Dl, получаем

Закон Ньютона говорит нам, что момент силы равен произ­ведению момента инерции на угловое ускорение, или

Собирая теперь все воедино, находим

или

Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью

Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем мед­леннее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит бы­стрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.

Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В вол­нах кручения мы сталкиваемся с особым распределением нап­ряжений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распростра­няться с одной и той же скоростью, которая определяется фор­мулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.