7. Физика сплошных сред - Ричард Фейнман

Это соотношение известно как закон Гука.

Удлинение бруска Dl зависит и от его длины. Это можно про­демонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скре­пим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каж­дый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удли­нится на Dl. Таким образом, удлинение бруска длиной 2l бу­дет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной l. Чтобы получить величину, полнее харак­теризующую сам материал и менее зависящую от формы образ­ца, будем оперировать отношением Dl/l (удлинение к перво­начальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от l:

F~Dl/l(38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предпо­ложим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для дан­ного удлинения Dl мы должны приложить силу F к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А. Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональ­ности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

F=YA(Dl/l) (38.3)

Постоянная Y определяется только свойствами природы ма­териала; ее называют модулем Юнга. (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э. д. с., так что теперь лучше взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади, называют на­пряжением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией. Уравне­ние (38.3) можно переписать следующим образом;

F/A =YXDl/l. (38.4)

Напряжение=(Модуль Юнга)X(Деформация).

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой толщине w и еще отношению Dl/l. Относительное боковое сжатие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно за­писывается в виде

где постоянная s характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное до знаку, по величине меньше 1/2. (То, что постоянная о в об­щем случае должна быть положительной, «разумно», но ниотку­да не следует, что она должна быть такой.)

Две константы Y и s полностью определяют упругие свой­ства однородного изотропного (т. е. некристаллического) мате­риала. В кристаллическом материале растяжение и сокращение в разных направлениях может быть различным, поэтому и упру­гих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ог­раничим наши обсуждения однородными изотропными материа­лами, свойства которых могут быть описаны постоянными s и Y. Как обычно, существует множество способов описания свойств.

Некоторым, например, нравится описывать упругие свойст­ва материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими s и Y.

Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиция будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете неко­торое дополнительное перемещение, то результирующее пере­мещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: прин­цип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нуж­но для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, ко­нечно, так; из этих принципов вы действительно можете полу­чить почти все, ибо ваши теперешние математические возмож­ности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

§ 2. Однородная деформация

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с пря­моугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом воз­никнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропор­циональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатиче­ское давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматри­вать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.

Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна p/Y:

Задача 2. Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна -p/Y, а соответствующая деформация в бо­ковом направлении будет +sp/Y. Мы получаем

Задача 3. Если мы прило­жим к сторонам бруска дав­ление р, то деформация дав­ления снова будет равна p/Y, но теперь нам нужно определить деформацию длины. Для этого боковую деформа­цию нужно умножить на -s. Боковая деформация равна

так что

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая Dl как dl1+Dl2+Dl3, получаем

Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому

Интересно также найти изменение объема при гидроста­тическом давлении. Поскольку V=lwh, то для малых пере­мещений можно записать

Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем

Имеются любители назы­вать DV/V объемной де­формацией и писать

Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропор­ционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К называется объемным модулем и связан с другими постоянными выражением

Поскольку коэффициент К представляет некоторый практиче­ский интерес, то во многих справочниках вместо Y и s приво­дятся У и К. Но если вам нужно знать а, то вы всегда можете получить это значение из формулы (38.9). Из этой формулы видно также, что коэффициент Пуассона s должен быть меньше 1/2. Если бы это было не так, то объемный модуль К был бы от­рицательным и материал при увеличении давления расширялся бы. Это позволило бы добывать механическую энергию из лю­бого кубика, т. е. это означало бы, что кубик находится в неу­стойчивом равновесии. Если бы он начал расширяться, то рас­ширение продолжалось бы само по себе с высвобождением энергии.

Посмотрим, что получится, если мы приложим к чему-то «косое» напряжение. Под косым, или скалывающим, напряже­нием мы подразумеваем такое воздействие, как показано на фиг. 38.4.

Фиг. 38.4. Однородный сдвиг.

В качестве предварительной задачи посмотрим, ка­кова будет деформация кубика под действием сил, показанных на фиг. 38.5.

Фиг. 38.5. Действие сжи­мающих сил, давящих на вершину и основание, и рав­ных им растягивающих сил с двух сторон.

Снова можно разделить эту задачу на две: вер­тикальное давление и горизонтальное растяжение. Обозначая через А площадь грани кубика, мы получаем для изменения горизонтальной длины

Изменение же высоты по вертикали равно просто тому же выражению с обратным знаком.

Предположим те­перь, что мы имеем тот же самый кубик, и под­вергнем его действию сдвиговых сил, показанных на фиг. 38.6, а.

Фиг. 38.6. Две пары сил сдвига (а) создают то же самое напряжение, что и сжимающие = растягивающие силы (б).

Заметим те­перь, что все силы должны быть равными, ибо на тело не должен действовать никакой момент сил и оно должно находиться в равновесии. (Подобные силы должны дей­ствовать также и в случае, изображенном на фиг. 38.4, поскольку кубик находится в равновесии. Они обеспечиваются тем, что кубик «приклеен» к столу.) При таких условиях го­ворят, что кубик находится в состоянии чистого сдвига. Но об­ратите внимание, что если мы разрежем кубик плоскостями под углом 45°, скажем, вдоль диагонали А на фиг. 38.6, а, то полная сила, действующая в этой плоскости, нормальна к ней и равна Ц2G.Площадь, на которой действует эта сила, равна Ц2A;следовательно, напряжение, нормальное к этой плоско­сти, будет просто G/A. Точно так же если взять плоскость, наклоненную под углом 45° в другую сторону, т. е. по диа­гонали В, то мы увидим, что на ней действует нормальное сдавливающее напряжение, равное -G/A. Из этого ясно, что напряжение при «чистом сжатии» эквивалентно комби­нации растягивающего и сжимающего напряжений, направлен­ных под прямым углом друг к другу и под углом 45° к перво­начальным граням кубика. Внутренние напряжения и деформа­ции будут такими же, как и в большом кубике материала под действием сил, показанных на фиг. 38.6, б. Но эту задачу мы уже решили. Изменение длины диагонали задается уравнением (38.10):