(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Покажите ученикам эти два сценария и попросите дать ответ, обосновав свой выбор. Если они работают вместе, что является идеальным вариантом, они могут посовещаться друг с другом, а затем предъявить свои математические доказательства, которые потом можно будет обсудить и изучить.

Рис. 7.8. Кто из девочек хочет больше коржика? Дайте обоснование. Используйте рисунки, слова и числа.

В процессе преподавания математики мы должны как можно чаще предлагать ученикам контрастирующие примеры. Учащиеся получают возможность обдумать их сходства и различия, выделить особенности различных математических идей, извлечь уроки из видимой разницы и обосновать свой выбор – такие ценные действия способствуют осмысленному изучению и прочным знаниям273.

Недавно я ездила в Сан-Диего к своему другу. Мне захотелось узнать, каково это – жить там, и я задала ему вопрос, который (как я осознала позже), опирался на мою веру в контрастирующие примеры. Я поинтересовалась, жил ли он когда-нибудь в другом городе. Когда он ответил, что жил в Бостоне и в Санта-Барбаре, я обрадовалась, ведь у него имелось представление о разных городах, иначе откуда ему было бы знать, какие особенности Сан-Диего интересны или примечательны?

В школе Феникс-Парк часто обращались к контрастирующим примерам. Ученики осваивали идею ГМТ, прослеживая путь разных точек на движущихся треугольниках, квадратах и выбранных самостоятельно фигурах. Задание рассмотреть ГМТ относительно различных движущихся форм подталкивало их к наблюдению и размышлению, как это понятие соотносится со свойствами различных фигур. Ученики узнали больше, чем если бы они рассматривали ГМТ только для определения окружности – стандартный пример при изучении в школе.

Учителя из Феникс-Парка сделали выбор в пользу практического опыта, который сосредоточен на масштабной идее, а не на мелких методах, что помогло ученикам развить визуальные мысленные представления на основе физических, с которыми они столкнулись. Когда ученики могут строить свои собственные фигуры, это привносит агентность[50] в процесс изучения математики. Когда ученикам разрешается выбирать направления в своей работе, это приводит к более глубокой вовлеченности274. К этому важному свойству обучения приводит простое предложение создать свои собственные фигуры.

Разнообразие методов, опробованных учениками, способствовало их успеху как на экзаменах, так и в жизни в целом275. Они обдумывали идеи в ходе исследований и проектов; учителя вводили новые методы по мере того, как они обретали актуальность для школьников, а школьники осваивали свое новое понимание, применяя идеи в новых разнообразных ситуациях. Что бы ни делали учащиеся – изучали новый материал, исследовали идеи или практиковались в их применении – они активно вовлекались в работу через многоплановый подход и разнообразие.

Процедурные и концептуальные вопросы

Вероятно, вы не удивитесь, узнав, что учащиеся школы Финикс-Парк достигли значительно больших успехов в решении прикладных задач, нежели школьники, обучавшиеся по стандартной программе. Однако вас может удивить тот факт, что они также показали значительно более высокие результаты на традиционных национальных экзаменах – в серии коротких вопросов, на которые отведено определенное время276. В Англии национальные экзамены – очень важная вещь: аттестационные комиссии проводят их для шестнадцатилетних школьников. В рамках работы над диссертацией я провела исследование успеваемости двух групп учеников, изучая их ответы на вопросы национального экзамена.

Мне посодействовал мой научный руководитель Пол Блэк, очень влиятельный человек в Великобритании: он добился для меня разрешения находиться в маленькой комнате без окон в месте, где проводились экзамены, и читать все сданные учениками работы (они уже получили свои результаты). Анализируя, на какие вопросы школьники отвечали правильно, а где ошибались, я заметила нечто удивительное.

Перед тем как провести день в этой крошечной комнате, я разделила все вопросы на две категории. К одной я отнесла задания, которые назвала процедурными: с ними можно было справиться, просто применив какой-нибудь метод. Если же для задания требовалось что-то большее (например, адаптировать метод или переосмыслить ситуацию), я относила их к категории концептуальных вопросов. Например, вопрос «Найдите среднее арифметическое данного множества чисел» классифицировался как процедурный, поскольку ученикам не требовалось подбирать или видоизменять какой-то метод; достаточно было просто вспомнить, как вычислять среднее арифметическое. Сравните с примером концептуального вопроса: «Фигура состоит из 4 прямоугольников, и ее площадь равна 220 квадратных сантиметров. Запишите в терминах x площадь одного из прямоугольников».

На рисунке 7.9 приведены результаты учащихся для этих двух типов вопросов.

Рис. 7.9. Результаты учащихся на процедурных и концептуальных вопросах.

Учащиеся школы Амбер-Хилл хорошо справились с процедурными вопросами, но плохо – с концептуальными (которые обычно сложнее). Школьники из Феникс-Парк показали одинаковые результаты по обоим типам вопросов – и при этом значительно более высокие результаты по концептуальным вопросам, нежели учащиеся из Амбер-Хилл. Этот более высокий уровень работы не только обеспечил им в целом более высокие результаты на экзаменах, но и оказал значительное влияние на их будущую работу, учебу и жизнь. Примечательно, что подход школы Феникс-Парк сгладил неравенство, существовавшее в среде ее учеников, а вот неравенство среди учащихся традиционной школы Амбер-Хилл было воспроизведено и на национальных экзаменах.

Из бесед с учениками школы Феникс-Парк мне стало ясно, что они достигли более высокого уровня на экзамене, потому что школа научила их использовать и применять методы и задумываться об их смысле. Подтверждением послужило экзаменационное задание, где требовалось использовать систему уравнений. В Амбер-Хилл школьники неоднократно решали системы уравнений с помощью определенного метода. Во время экзамена они попытались применить этот метод, но большинство из них запутались в процедуре и дали неправильный ответ. Ученики из Феникс-Парк успешно справились с этим заданием, несмотря на то что их не обучали формальному методу для решения: они подошли к задаче с тем, что я теперь называю установкой на рост, – они выработали решение, используя и применяя другие известные им методы.

Я спросила Ангуса, ученика 11-го класса (10-й класс в США) школы Феникс-Парк, не кажется ли ему, что экзамен включал темы и вопросы, с которыми он не встречался в классе.

Ну, иногда, полагаю, вопросы ставятся так, чтобы сбить тебя с толку, но если есть материал, с которым я раньше не работал, то я пытаюсь разобраться, насколько это в моих силах. Пробую понять и ответить как можно лучше, а если не получилось, то, значит, не получилось277.

Спустя годы я провела повторное исследование учащихся, которым было уже около 24 лет. Оно показало, что математический подход школы Феникс-Парк продолжает оказывать влияние: он позволил ученикам добиться большего успеха, поскольку они применяли свои знания и позитивную ментальность у себя на работе278. Категоризация их рабочих мест продемонстрировала, что ученики из Феникс-Парк занимают значительно более высокие места на социально-экономической шкале (SES). На диаграмме 7.10 показаны рабочие места этих молодых людей на момент моих бесед с ними в сравнении с рабочими местами их родителей на момент первоначального исследования. Разница в увеличении значима.

В беседах бывшие школьники Феникс-Парк связывали свои успехи в жизни (в частности, в поиске работы и трудоустройстве) с гибким подходом, которым овладели на уроках математики, и с ответственностью, которую возлагали на них при решении задач. Рассказывая о рабочих требованиях, они по сравнению с местами их родителей. говорили, что на разных рабочих местах им предлагалось брать на себя ответственность, и они могли это сделать, потому что научились этому на уроках математики. Они сказали мне, что гибкий математический подход также помог им понять, что если они не чувствуют удовлетворения на работе, то лучше поискать другое место. Часто мы, преподаватели, считаем, что учим школьников математике, чтобы они хорошо усвоили математические знания, но мы всегда делаем больше: мы учим подходу к жизни. Исследование, в котором участвовали эти молодые люди, показало, что те подходы и идеи, с которыми они встречались в классах Феникс-Парк, принесли им пользу и в последующие годы.