(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Рис. 7.10. Анализ рабочих мест учащихся

Эти учащиеся поняли то, что важно помнить всем нам: если мы начнем подходить к новым проблемам с мыслью, что можем пробовать применять полученные знания и, как выразился Ангус, «разобраться, насколько это в моих силах», то добьемся большего успеха в учебе и в жизни.

Гийо Хатано и Йоко Оура – японские профессора, которые внесли большой вклад в мировое понимание компетенции (знаний и опыта в определенной области). Они описывают два типа людей. Одни, развившие «стандартные компетенции», способны быстро и точно справляться со знакомыми проблемами, но не могут выйти за рамки того, что они назвали процедурной эффективностью. В то же время те, у кого развиты «адаптивные компетенции», выделяются гибкими, инновационными, творческими умениями в рамках этой области, а не скоростью, точностью и автоматизмом при решении знакомых задач279.

Для меня, как и для Хатано с Оурой было очевидно, что школьники Феникс-Парк развили адаптивные компетенции, что, в свою очередь, позволило им добиться успеха как на государственных экзаменах, так и в жизни.

Когда учащиеся работают с визуальными и физическими представлениями, как это делали школьники, изучавшие геометрическое место точек с помощью движения, происходит целенаправленная практика, а когда они учатся приспосабливать и применять методы в различных ситуациях, у них развиваются адаптивные компетенции. Этот опыт оказался важен для молодых людей, посещавших Феникс-Парк, многие из которых выросли в бедности, но достигли более устойчивого финансового положения, овладев в школе гибким подходом к математическим знаниям – что, в свою очередь, научило их справляться с ответственностью280.

Применяйте разнообразие к математическим примерам

Математическое разнообразие можно воплотить на практике и другим способом. В традиционных учебниках ученикам часто предлагают набор почти одинаковых изображений и примеров, но зачастую полезнее показать, почему некий пример не работает, нежели приводить много работающих примеров. Например, когда мы рассказываем школьникам о птицах, мы часто показываем им именно птиц – например, воробья, колибри и голубя. Но в этом случае детям гораздо полезнее посмотреть на летающих существ, которые не являются птицами – например, на летучих мышей. Тот же принцип действует и в математике.

На моих математических семинарах для учителей мне больше всего нравится наблюдать за их восторгом при встречах с различными версиями той математики, которую они преподают. На протяжении многих лет во время наших обсуждений учителя часто называли фигуру на рисунке 7.11 перевернутым треугольником. Иногда я бесцеремонно отвечала: «Вы имеете в виду фигуру, которую также именуют треугольником?» Я не удивлена, что учителя называют ее именно так, поскольку треугольники почти всегда рисуют с двумя вершинами внизу и одной вверху – особенно когда с ними знакомят школьников. Примерам в книгах обычно не хватает разнообразия, и это создает проблемы для учащихся.

Рис. 7.11. «Перевернутый» треугольник.

Например, когда восьмиклассникам показали картинку на рисунке 7.12, они не поняли, что это изображение параллельных прямых.

Рис. 7.12. Параллельные прямые.

Рис. 7.13. Параллельные прямые.

Рис. 7.14. Параллельные прямые.

А когда мы спрашивали, параллельны ли прямые a и с на рисунке 7.13, большинство одиннадцатилетних детей отвечали: «Нет, потому что b мешает».

Параллельные прямые обычно изображаются так, как показано на рисунке 7.14, что и объясняет подобные рассуждения учащихся.

Точно так же, как мы должны предлагать практические задания, где используются методы и контрастирующие примеры, мы также должны стараться давать учащимся больше примеров нетипичных идей и представлений.

Такие виды практики, по-видимому, позволяют достичь «целенаправленной практики», описываемой Андерсом Эрикссоном как «преднамеренная практика, которая ведет к формированию репрезентативных моделей». Чтобы обеспечивать целенаправленные и эффективные действия, практика должна включать в себя как можно больше следующих элементов:

Характеристики эффективной практики

1. Применение методов: проблемы должны заставлять людей использовать методы в новых, нетипичных ситуациях.

2. Рассмотрение контрастирующих случаев.

3. Фокус на концепциях и крупных идеях, а не на мелких методах.

4. Создание репрезентативных моделей, включающих визуальные или физические референты (обозначаемые объекты).

5. Нестандартные примеры и представления.

6. Связи, которые люди могут найти и изучить; связи между математическими идеями и между математикой и миром.

Использование циклов обратной связи

Эрикссон описывает три аспекта целенаправленной практики: практика значимых идей, разработка репрезентативных моделей и четкий цикл обратной связи, обеспечивающий возможности для совершенствования. Остаток этой главы мы посвятим способам, с помощью которых учащиеся – да и все люди – могут продуктивно предоставлять и получать обратную связь, поскольку я редко наблюдаю подобное, когда бываю в учебных заведениях и на предприятиях. Школьникам и работающим людям постоянно говорят, что они правы или не правы, но это не то, что подразумевается под обратной связью.

Многие учителя и родители сетуют на то, что их ученики или дети не применяют метакогнитивные стратегии, описанные в главе 2. Вместо этого ученики хотят найти ответ немедленно, а в противном случае сдаются. Подобная реакция формируется, когда оценивание сосредоточено исключительно на ответах. Если мы хотим способствовать различным видам позитивного математического поведения, наши оценки должны поощрять и вознаграждать их. Это означает, что мы должны выделить продуктивные модели математического поведения и обеспечить школьникам обратную связь (и при необходимости суммарную оценку) касательно использования ими различных моделей поведения. Математические цели служат ориентирами в учебном процессе, которые задают ученикам направление на их пути и стимулируют развитие метакогнитивного мышления и понимания.

Нэнси Кушайр – глава отдела математики в одной из средних школ программы International Baccalaureate в Калифорнии. Нэнси не только ценит многоплановый разнообразный подход в преподавании, но и предоставляет школьникам возможность обучаться на основе собственных математических стратегий, обеспечивая значимую обратную связь.

Рис. 7.15. Цикл математического моделирования.

Как и многие другие педагоги, Нэнси обратила внимание, что после глобальной пандемии ученики потеряли уверенность и стали хуже решать задачи281. Некоторые менее опытные учителя начали делать упор на изложение правил и процедур и увеличили количество лекций, но Нэнси вовлекла учащихся в цикл математического моделирования, показанный на рисунке 7.15, который дает ученикам ориентиры, превращающие оценивание в итеративный процесс обучения и адаптации. Меня настолько заинтересовала модель преподавания и оценивания Нэнси, что я приняла ее приглашение приехать к ней в школу и самой встретиться с учениками.

Центральное место в разработанном Нэнси учебном блоке занимал вопрос об экономии воды – важная тема для подростков Калифорнии (Нэнси узнала об этом из одной учебной статьи)282. В своем классе Нэнси уже выстроила культуру дружелюбного отношения к ошибкам и усилиям, показывая ученикам множество наших видеороликов, рассказывающих о ценности борьбы283. Заложив эту важную основу, она задала вопрос: «Что расходует больше воды – душ или ванна?»

Она объяснила школьникам, что люди расходятся во мнениях по этому вопросу, и их задача – изучить вопрос, собрать данные и изложить свою точку зрения. Ученикам предлагалось выяснить расход воды в лейке душа и для различных по размеру ванн в разных домах и выбрать желаемые расходы: это обеспечивало гибкость и выбор, а также множество возможностей использовать ish-числа. Параллельно Нэнси излагала в классе новые идеи, включая базовые алгебраические понятия линейности и обобщения; важно, что она обучала школьников этим понятиям в тот момент, когда они работали с выбранными ими самими данными и расходами: это ключевой принцип преподнесения идей в то самое время, когда ученики работают над заданиями. Это позволяет школьникам сформировать мысленное представление о величинах и алгебраических идеях, столкнувшись с ними в контексте реального мира. Они узнали о связях между такими идеями, как постоянные и переменные, и сконцентрировались на масштабной идее обобщения.

Рис. 7.16. Душ или ванна?

Но для меня самым интересным было то, что произошло в заключительной части такого моделирования.

Я приехала в школу в тот день, когда ученики