(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

Джулия попросила нас с Кэти провести два урока: один – для учеников 3–5-х классов, другой – для учеников 6-х и 7-х классов. Я начала свои уроки с важных фактов, которые установили нейробиологи: рассказала ученикам, что их учебу ничто не ограничивает и что пути в мозге постоянно развиваются, укрепляются и соединяются. Я объяснила детям, что самое важное время для них – это моменты усилий и трудностей, что математика – это вовсе не скоростное мышление и что все математические задачи можно рассматривать с разных точек зрения и решать разными способами. Я также рассказала им, что подход к математике, при котором применяются различные способы видения и решения задач и используется много представлений, ведет к формированию важных связей в мозге. Для иллюстрации сказанного мы взяли задачу о точках на карточке (описанной в главе 5). После моего рассказа о мозге ученики охотно придумывали различные способы представить семь точек.

После этого мы с Кэти сообщили, что нам понравилась математическая красота, заключенная в нескольких произведениях искусства коренных народов. Кэти показала изображение ловца снов (рис. 6.9) и спросила школьников, что оно значит для них. Ученики рассказали о роли ловца снов в их жизни и культуре. Затем Кэти попросила их подумать об этом рисунке с математической точки зрения, глядя на мир через линзу математики.

Рис. 6.9. Ловец снов.

Ученики возбужденно рассказывали, что они видят на картинке, включая математические фигуры (например, треугольники, трапеции и круги) и объекты из реального мира (например, ноутбук, реку и комнату). Когда Кэти задала вопрос: «Сколько треугольников вы видите?», ученики решили, что в ответе «бесконечное число», поскольку каждый треугольник можно разрезать пополам, еще раз пополам и так далее. Кто-то, взглянув на рисунок, может возразить, что на самом деле никаких треугольников здесь нет, поскольку края треугольных фигур изогнуты. Однако мы с радостью использовали для этого изображения ish-взгляд (который обсуждался в главе 4). На ловце снов есть фигуры, похожие на треугольники, ish-треугольные формы. Чтобы математическая линза была полезной, нам нужно принимать и ish-свойство чисел и форм в мире, и более точные версии. Вполне вероятно, что ish-версии окажутся гораздо полезнее для людей в их жизни. Важно, что мы должны помогать детям изучать и использовать как неточные, так и точные версии фигур и чисел, давая им возможность переключаться между общей картиной и сфокусированным мышлением259.

Для меня было большой честью познакомиться в ходе нашего волшебного посещения с культурой народа оканаган и поработать с местными учениками и учителями. Однако наше сотрудничество получило замечательное продолжение: позже я получила письмо от Лизы ван ден Манкхоф, учительницы 6-х и 7-х классов, которая в тот день наблюдала, как мы вели урок у ее школьников. Она рассказала о своей работе, проделанной после нашего визита. Сначала она предложила ученикам самостоятельно сконструировать собственные ловцы снов, предоставив им свободу использовать имеющиеся у них знания, подумать и активировать то, что Заретта Хаммонд называет собственным «культурным капиталом» (рис. 6.10)260. Эта работа фокусируется на крупной идее математических закономерностей.

После того как ученики создали свои ловцы снов и изучили узоры-закономерности в них, Лиза искусно переключила их мышление в область переменных, помогая им описать эти закономерности с помощью алгебры. Лиза писала, что это вызвало у школьников сложности, что они оказались в «яме», а это самый лучший момент для учебы и роста. Она сообщила, что в какой-то момент обсуждения даже допустила ошибку, которую класс отметил жестом «дай пять»: именно так дети поступают всякий раз, когда ученики или учителя допускают какую-нибудь ошибку. Важно, что, по словам Лизы, такая деятельность позволила ученикам установить «прекрасные связи». Я не удивлена, что учителя и ученики вдохновляются связями между узорами и алгеброй, ведь именно в математических связях кроется истинная красота. Собственные узоры школьников были близкими и культурно значимыми для них, они оживляли абстрактные понятия алгебры.

Рис. 6.10. Ловцы снов, спроектированные школьниками.

Наш опыт работы в этой школе и внимание к ценности сохранения и уважения культуры коренных народов послужили толчком к новой инициативе: педагоги всего мира, работающие с коренными народами, делятся различными примерами сочетания математики и искусства коренных народов261.

Подход, который я изложила в этой главе, – учить и учиться таким образом, чтобы люди могли сформировать концептуальное и связное понимание, – ключевая часть математического разнообразия. Широкий спектр заданий дает ученикам возможность бороться и прикладывать усилия, позволяет им развивать мысленные представления и способствует глубокому концептуальному пониманию, на которое они будут опираться всю оставшуюся жизнь262.

Концептуальное мышление и поиск связей подходят не только школьникам; все мы можем использовать такой подход к обретению знаний, и он, вероятно, приведет нас к красоте и озарениям. Один из моих любимых методов развития концептуальных представлений, касающихся масштабных идей – ведение дневника или создание набросков-заметок. Фиксировать слова или визуальные образы – очень хорошее упражнение для того, чтобы прислушиваться к идеям, связывать и отслеживать их.

В главе 4 я писала, что часто предлагаю посмотреть видеоролик, на котором одна из моих бывших студенток Ясмина решает задачи по математике визуально, подчеркивая математические связи. Мне интересно наблюдать за эффектом этого видео – людей буквально завораживает красота математических понятий и связей, которые они видят в образах и движении. Я страстно желаю изменить взаимодействие учеников и взрослых с математикой, поскольку знаю, что эта красота доступна всем нам – если мы начнем подходить к математике как к комплексу понятий, крупных идей и связей.

7. Разнообразие практики и обратная связь

Я надеюсь, что к этому моменту вы, ваши ученики или дети уже попробовали подходить к математике через призму разнообразия и ish-ности, концептуально осмысливая связи между идеями путем глубоких метакогнитивных размышлений и как можно чаще задавая очень важный вопрос «почему?». Я надеюсь, что сейчас вы уже применяете этот гибкий, концептуальный подход к математике и в учебе, и в жизни. Возможно, вы даже общались с другими людьми, выдвигая предположения и принимая на себя роль скептика. Я надеюсь, что если вы учитель или родитель, только начинающие знакомиться с разнообразным подходом к математике, то вы постараетесь знакомить детей с этой дисциплиной, используя такие разнообразные и увлекательные способы взаимодействия с математикой.

За эти годы многие люди уже пробовали некоторые подобные идеи и вернулись ко мне за новыми рекомендациями. Мне часто задают примерно такие вопросы:

• Теперь, когда работа с учениками строится на исследованиях и обсуждениях, нужно ли давать им обычные бланки с заданиями?

• После того как ученики изучили материал, надо ли проводить тест, чтобы убедиться, что они усвоили эти идеи?

• Как правильно оценивать учеников?

В этой главе мы ответим на эти важные вопросы. Подчеркнем, что, когда учащиеся занимаются практикой или работают над оцениванием, они должны по-прежнему действовать математически разнообразно, глубоко, стратегически и концептуально.

Разнообразная целенаправленная практика

Один из специалистов, повлиявших на формирование моих представлений о продуктивных формах практической деятельности, – Андерс Эрикссон263, швейцарский психолог и профессор университета штата Флорида. В соавторстве с Робертом Пулом он описал важную часть процесса превращения в специалиста в произвольной области – участие в «целенаправленной практике»264. Эрикссон определяет ее как преднамеренную практику, которая приводит к формированию специализированных мысленных представлений, с четкой обратной связью, дающей возможность совершенствования.

Когда Эрикссон опубликовал свою работу и заявил, что практика очень важна для развития опыта, сторонники традиционного обучения утверждали, что их методы идеально подходят для обеспечения такой практики. Однако возможности, которые предоставляют математические классы с обычным преподаванием, во многих отношениях недостаточны. Целенаправленная практика – это работа со значимыми идеями, в ходе которой учащиеся разрабатывают репрезентативные модели, и она включает в себя четкий цикл обратной связи, предоставляющий возможности