(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

математики как концептуального и пронизанного связями предмета вдохновила Сару. Вооружившись концепцией крупных идей из наших книг, она объяснила своим ученикам, что они займутся совместным поиском связей между идеями228. Она сказала им, что математика – это сеть понятий и они убедятся, что связи между ними помогают их осваивать. Сара вывесила на стене класса математические темы следующего года в виде крупных идей и объяснила, как указывать связи между ними. Далее этим занялись дети: если они находили связь, то добавляли ее. Это происходило естественным образом: когда школьники обнаруживали связи, они писали их на листке бумаги, а затем прикрепляли к веревочке, которая соединяла соответствующие идеи на стене. На рисунке 6.3 приведена фотография стены со связями, сделанная в середине года, а видеоролик из класса Сары с картами связей выложен на сайте youcubed.org под названием «Не надо тревожиться по поводу математики». К концу года стена напоминала паутину. Когда Сара убирала что-то с доски, ученики просили разрешения забрать это домой – они гордились своими открытиями!

Рис. 6.3. Математические связи в классе Сары Нолан.

Рис. 6.4. Наброски-заметки с моими идеями преподавания.

Лаура Уилер и Impact Wales.

Еще один мой любимый метод, помогающий людям развивать концептуальные и связанные знания об идеях – это создание набросков-заметок229. Группа исследователей из Испании и Австралии описывает их так: «наглядная форма, объединяющая наброски и заметки для объяснения научных тем»230. Двое учителей любезно предоставили сделанные ими наброски, отражающие мои собственные преподавательские идеи (рис. 6.4).

Люди все чаще используют такие наброски для представления и запоминания идей, излагаемых на конференциях, семинарах и деловых встречах, однако учителя также могут показать учащимся, как выделять крупные идеи и связи между ними – тот навык, который должны развивать все ученики, что бы они ни изучали231. В частности, я люблю такие наброски, поскольку их форма – во многом похожая на карту понятий – может выразить идеи так, как не делают или не могут сделать традиционные методы. В предыдущей главе рассказывалось об исследованиях, посвященных пользе наглядного восприятия математики, а наброски-заметки – отличный способ для учеников создавать свои собственные визуальные представления.

Джанет Наззи, лидер в области математического образования, стремится, чтобы ее ученики изучали математику с глубиной и пониманием, опираясь на идеи ментальной установки. Мы с нею набросали несколько наиболее важных понятий в преподавании дробей; они приведены на рисунке 6.5.

Исследования показали, что, когда ученики делают заметки в ноутбуках, они запоминают меньше, чем когда рисуют или записывают идеи от руки232. Традиционные записи – дословное изложение идей – подразумевают неглубокую их обработку, в то время как создание набросков-заметок требует от учеников обрабатывать информацию, рассматривать общую картину, визуализировать ее и переосмысливать – все это ценные шаги в обучении.

Установлено даже, что создание учениками таких набросков улучшает их результаты при решении математических текстовых задач, а также повышает их вовлеченность и мотивацию – что особенно важно для учащихся с особенностями233. Хайди Винсент, университетский профессор математики, использует подобные наброски-заметки, чтобы помочь своим студентам понимать математику; на рисунке 6.6 дан ее набросок, отражающий важные идеи в сфере грамотности работы с данными, статистики и науки о данных234.

Рис. 6.5. Набросок с важными понятиями для дробей.

Рис. 6.6. Набросок Хайди Винсент.

Я рекомендую вам попробовать составить набросок для тех идей, с которыми вы имеете дело. Если вы колеблетесь из-за того, что не умеете рисовать, воспользуйтесь пиктограммами, которые можно бесплатно найти в Интернете235. Напомните себе (и своим ученикам), что главная цель такого наброска – не создать красивое произведение искусства, а представить идеи, придать им нужное значение и мыслить концептуально, устанавливая связи между ними.

Учите понятиям и связям

Я помню тот день, когда в моем кабинете в Стэнфорде появилась Шела Фельдштейн из управления округа Туларе (Калифорния).

Она попросила меня помочь округу и рассказать учителям пятых классов этого района о рекомендованном нами подходе – когда школьники работают над крупными идеями и связями. Вместе мы разработали план, в соответствии с которым учителя должны были пройти мой онлайн-курс по преподаванию математики, а затем собраться в группах и спланировать изменения в своей работе на базе освоенных идей236. В следующем учебном году мы приступили к реализации плана, и в течение этого года учителя следовали новому подходу. При этом они стали замечать, что успеваемость их подопечных повысилась237.

Тот год оказался только началом; учителя продолжали повышать квалификацию, а руководители округа распространяли новые идеи среди других преподавателей.

Через несколько лет после той первой встречи в моем кабинете собрались учителя четвертых классов – Энни Браун, Джереми Кемп и Стефани Гомес. Преподаватели с воодушевлением обсуждали перемены в своей работе – как они поощряли детей мыслить по-новому и позитивно относились к ошибкам; однако больше всего меня заинтересовал следующий аспект изменений.

Джереми описал «поразительную вещь». Он давал ученикам разнообразные, глубокие и расширенные задания с обыкновенными дробями, но нервничал по поводу других тем учебной программы, которые ему предстояло излагать, – десятичных дробей, геометрии, измерений и так далее. Когда класс приступил к десятичным дробям, его нервозность быстро рассеялась:

Дети потратили так много времени на обыкновенные дроби, изучая все тонкости, что могли применить свои знания из этой области к другим аспектам математики. Когда мы перешли к десятичным дробям, меня потрясло, насколько легко они усваивали новые понятия – они брали то, что уже знали об обыкновенных дробях, и без особой практики применяли это к десятичным числам. Это было невероятно.

Энни и Стефани согласились, добавив, что школьники редко видят математические связи, и все они считают, что это «действительно круто и удивительно». В конце первого года нашего сотрудничества с руководителями и учителями в Калифорнийской долине ученики, обучавшиеся таким образом, показали значительно более высокие результаты на экзаменах по математике – особенно девочки, изучающие английский как основной или второй язык, а также ученики из семей с низким уровнем доходов, то есть как раз категории, обычно испытывающие проблемы с математикой238. После того как управление округа провело хорошо продуманное повышение квалификации учителей, школьники округа Туларе начали воспринимать математику как концептуальный, связный и разнообразный многоплановый предмет.

Успех связан с концептуальным обучением

Не всем школьникам преподают математику так осмысленно; я неоднократно становилась свидетелем проблем, с которыми сталкиваются ученики, когда их не учат подходить к математике как к концептуальному и связному предмету. Однажды я наблюдала, как великолепная учительница Кэти Хамфрис работала с группой учеников средней школы в Калифорнии (их специализацией был язык, а не математика)239. Кэти пригласили провести уроки, посвященные дробям; школьный учитель объяснил ей, что дети испытывают трудности с изучением этой темы. Кэти составила план визуального и концептуального изучения дробей. Во время одного из уроков Кэти показала классу изображение, приведенное на рисунке 6.7, и задала простой, на ее взгляд, вопрос: «Какая доля этой фигуры закрашена?»

Рис. 6.7. Одна четверть.

Кэти бросилось в глаза, что руки поднимают немногие дети, и то неуверенно. Поэтому она предложила обсудить проблему в небольших группах. Именно тогда я услышала одно из самых увлекательных и познавательных математических обсуждений в своей жизни. Вот его часть:

ХУГО: Я думаю, одна вторая. Здесь две фигуры, и одна из них закрашена.

ЛУКАС: Я думаю, что треть.

СОФИЯ: Я думаю, что это одно целое.

ХУГО: Нет, половина – одна из двух частей.

ПАБЛО: Я думаю, что одна четвертая.

ЛУКАС: Почему?

ПАБЛО: Ну, если представить