(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер

ЛУКАС: Но здесь нет никаких прямых линий. Кроме того, она не сказала «докажите», она просто спросила: «Какая здесь доля?»

Меня не удивили ответы «половина» или «треть», поскольку такие ошибки весьма распространены. Заинтересовало меня то, что, когда Пабло дал четкое и правильное объяснение, показав линии, которыми можно разделить фигуру на четыре равные части, Лукас возразил, указав, что никаких видимых линий нет.

Здесь мы увидели, как ученик следовал тому, что считал правилами математики, – отвечать на поставленный вопрос, а не менять его, например добавляя линии. Однако предложение Пабло относится к самым важным математическим действиям, которым может научиться школьник, – это называется гибкостью формы. Точно так же, как гибкость числа позволяет нам при вычислениях менять числа на более удобные, гибкость формы позволяет нам перемещать части фигуры или добавлять линии, чтобы стало понятнее. Майкл Баттиста называет это пространственным структурированием240, и оно тесно связано с чувством числа241. Лукас продемонстрировал, что внимательно следит за лексикой учителя, заявив, что, возможно, гибкий подход Пабло годился бы, если бы их попросили доказать ответ, а не просто назвать дробь. Такая реакция сказала мне, что Лукас научился следовать правилам, и их усвоение помешало ему воспринимать точные математические рассуждения Пабло.

Урок стал еще интереснее, когда Кэти попросила класс поделиться своими рассуждениями. К доске вышел Хесус, который дал замечательно четкое объяснение. Он показал фигуру, разделенную на четыре части, и сказал:

Я думаю, что в ответе одна четвертая, потому что если разделить вот здесь и здесь (он делит квадрат на доске на четыре части), то получится четыре квадрата. У всех них одинаковая площадь, и если закрасить один, то получится одна четвертая.

Кэти спросила класс, доказал ли свой ответ Хесус, объяснив, что если нет, то нужно задать вопрос, ответ на который их убедит; она предложила классу «заставить его нести ответственность за свое доказательство». И тогда Хорхе задал Хесусу потрясающий вопрос. Он спросил Хесуса: «Что это за правило?»

Класс в напряжении ждал. Хесус у доски неуверенно пожал плечами. Хорхе продолжал: «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?»

Подобные моменты восхищают меня, поскольку они иллюстрируют – посредством обсуждения в классе – то, что исследователи назвали «когнитивной интерференцией»242. Хорхе, Лукаса, а также, вероятно, многих других их одноклассников учили правилам работы с дробями. Они настолько прочно закрепились в сознании учеников, что блокировали их способность мыслить концептуально и обращаться к математическим рассуждениям, которые являются ключевыми для понимания. Школьники словно не верили, что математические рассуждения и осмысление – это законные действия; они считали, что нужно просто следовать правилам.

Аналогичный процесс происходит, когда на ранних этапах изучения арифметики и дробей детям рассказывают про алгоритмы. Я видела, как учителя активно развивают у своих учеников чувство числа, но, когда они обучают их алгоритмам, все осмысление школьников как будто испаряется, и они начинают слепо следовать правилам, которым их обучили (я обсуждала это в главе 5 применительно к дробям). Я не против преподавания алгоритмов, но считаю, что детей зачастую знакомят с ними слишком рано, когда школьники еще не способны понять их по-настоящему. Это переключает учеников в режим исполнения правил и, похоже, уводит их в сторону от важного концептуального мышления.

Долорес Песек и Дэвид Киршнер, исследователи в сфере математического образования, заинтересовались концепцией когнитивной интерференции после того, как неоднократно столкнулись с ситуацией, когда правила, заученные школьниками, мешали им мыслить математически243. Один из случаев был связан с изучением алгебры244, второй – с десятичными дробями245, а третий – с обыкновенными дробями246. Подобные ситуации подтолкнули Песек и Киршнера ввести и тщательно изучить понятие когнитивной интерференции: это проблема, возникающая, когда «предыдущее понимание в какой-либо области настолько сильно, что спонтанно проникает в дальнейшее обучение»247.

Чтобы изучить этот феномен, который, по их предположению, может вызывать проблемы с изучением математики у многих учеников, они провели контролируемое исследование.

Песек и Киршнер рассмотрели те причины, которые мешают учителям использовать концептуальный подход. Одни ссылались на нехватку времени, другие утверждали, что к концептуальному обучению можно прибегать только после того, как ученики выучат методы и правила – если будет время. Для эксперимента ученые взяли шесть классов пятиклассников и разделили детей на две группы случайным образом. Обе группы изучали площадь и периметр квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Одной группе досталось восемь уроков: пять уроков традиционного обучения, а затем три урока концептуального обучения; у другой провели только три урока концептуального обучения. Обеим группам организовали тестирование – перед экспериментом, после него, а затем еще одно спустя некоторое время. На уроках организовали наблюдение, а со школьниками вели беседы.

При традиционном обучении детям показывали формулы для нахождения периметра и площади квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Учитель объяснял, затем ученики тренировались в группах. В конце каждого урока учитель повторял формулы.

При концептуальном обучении, которое проходили обе группы, школьников просили придумать собственные способы находить площадь и периметр с учетом взаимосвязи между этими понятиями. Ученикам предлагалось рисовать или измерять собственными руками, по квадратикам или с помощью геодоски[44]; они изучали идеи, применяя разнообразные подходы.

Группа с традиционным обучением училась восемь дней (многие учителя считают такой срок идеальным: пять дней на изучение методов и правил и три дня на концептуальную работу). Другая группа три дня занималась только концептуальным обучением. Результаты ошеломляли: школьники, которые учились всего три дня, показали значительно более высокие результаты во всех заданиях, нежели те, кто потратил восемь дней248.

Когда исследователи стали выяснять причины столь впечатляющих результатов (посредством устных опросов и тестирования), они обнаружили, что у школьников, обучавшихся традиционным способом, сформировались устойчивые представления. Например, они ассоциировали слово «внутри» с площадью, а «снаружи» – с периметром. Когда их спросили, какую формулу они применят для вычисления количества краски, необходимого для покраски комнаты, шесть школьников ответили, что не знают или что им нужно знать периметр, потому что «стены не имеют площади, они идут вокруг». Исследователи пришли к выводу, что заучивание правил мешало детям усваивать понятия – вероятно, потому что запоминание формул и правил требует серьезных умственных усилий, и учащиеся сконцентрировались на этом, а не на том, чтобы думать, рассуждать и решать задачи.

Описанный эксперимент представляется особенно важным в связи с тем, что многие учителя полагают, что у них нет времени на глубокое и концептуальное вовлечение учащихся. Результаты эксперимента показывают, что на такое вовлечение уходит значительно меньше времени (три восьмых), а потраченное время используется более эффективно.

Конечно, концентрация внимания на правилах влечет за собой и другие проблемы, как продемонстрировал выше Хесус, когда возражал против концептуального объяснения. Его вопросы «Что это за правило?» и «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?» демонстрируют, что, когда ученики считают, что их роль в математике заключается в запоминании и выполнении правил, у них развивается нежелание прибегать к концептуальному мышлению, а кто-то даже считает, что это «не разрешается».

Некоторые преподаватели, посмотревшие мои видеоролики с вовлечением учеников в концептуальное обучение, говорили мне, что не могут позволить себе обучать подобным образом, поскольку их классы слишком велики. После этого я даже обрадовалась, когда сотрудники инженерного факультета Стэнфорда пригласили меня прочитать летний курс анализа для группы будущих первокурсников, насчитывавшей девяносто девять учеников. Поскольку слушателей было много, я пригласила поучаствовать членов моей команды из центра