Как же называется эта книга? - Рэймонд Смаллиан

XII. Жив ли Дракула?

А. В Трансильвании

Несмотря на свидетельства очевидцев, подкрепленные ссылками на литературные источники, у меня были веские основания сомневаться в том, что с графом Дракулой Задунайским удалось разделаться, когда в могилу этого упыря забили осиновый кол. Я решил отправиться в Трансильванию и самостоятельно докопаться до истины. Отправляясь в дальние края, я ставил перед собой следующие три задачи: 1) выяснить, жив ли граф Дракула; 2) если его нет в живых, взглянуть на его бренные останки; 3) если он жив, то встретиться с ним.

Прибыв в Трансильванию, я вскоре обнаружил, что около половины ее населения составляют люди, а другую половину — упыри. Отличить упыря от человека по внешнему виду невозможно, но люди (по крайней мере в Трансильвании) всегда говорят правду, а упыри всегда лгут. Положение необычайно усложняется еще и тем, что половина обитателей Трансильвании лишились рассудка и придерживается превратных представлений о действительности: все истинные утверждения безумцы считают ложными, а все ложные утверждения — истинными. Другая половина обитателей находится в здравом уме и трезво судит о том, что истинно и что ложно. Таким образом, жители Трансильвании подразделяются на четыре типа:

1) люди в здравом уме;

2) люди, лишившиеся рассудка;

3) упыри в здравом уме;

4) упыри, лишившиеся рассудка.

Человек в здравом уме изрекает только истины. Человек, лишившийся рассудка, всегда лжет. Упырь в здравом уме также всегда лжет. Упырь, лишившийся рассудка, изрекает только истины. Например, человек в здравом уме скажет, что дважды два — четыре. Человек, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он убежден, что дважды два действительно не равно четырем). Упырь в здравом уме скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он знает, что дважды два равно четырем, и умышленно лжет). Наконец, упырь, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два — четыре (поскольку он убежден, что дважды два не равно четырем, и умышленно лжет).

167.

Однажды мне повстречался трансильванец, который заявил:

«Либо я человек, либо я в здравом уме».

Кем он был в действительности?

168.

Другой трансильванец заявил: «Я не человек в здравом уме».

Кем он был?

169.

Еще один трансильванец заявил: «Я человек, лишившийся рассудка.»

Однотипен ли он с трансильванцем из предыдущей задачи?

170.

Однажды я спросил у встречного: «Вы упырь, лишившийся рассудка?» Он ответил (либо «да», либо «нет»), и я узнал, к какому типу он принадлежал.

Кем он был?

171.

Однажды я встретил трансильванца, который заявил: «Я упырь».

Можно ли на основании этой фразы определить, был ли он человеком или упырем? Можно ли на основании той же фразы установить, в своем ли он уме или лишился рассудка?

172.

Некий трансильванец заявляет: «Я лишился рассудка».

а) Можно ли на основании этой фразы определить, в здравом ли он уме?

б) Можно ли на основании той же фразы установить, человек он или упырь?

173. Хитроумная задача.

Утверждение «если Q, то P» называется обратным утверждению «если P, то Q». Существуют два утверждения X и Y, такие, что каждое из них обратно другому, причем:

1) X не следует из Y, а Y — из X;

2) стоит любому жителю Трансильвании высказать любое из утверждений, как из этого следует, что другое утверждение должно быть истинным.

Можете ли вы привести два таких утверждения?

174.

Пусть X — любое утверждение и некий трансильванец считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть истинным? Предположим, что наш трансильванец не считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть ложным?

175.

Предположим, что некий трансильванец заявляет: «Я считаю X истинным». Следует ли отсюда, что X должно быть истинным, если наш трансильванец — человек? Следует ли отсюда, что должно быть ложно, если наш трансильванец — упырь?

Решение этой задачи устанавливает некий важный общий принцип!

176.

Однажды мне встретились два трансильванца A и B. Я спросил у A: «В — человек?» A ответил: «Думаю, да». Тогда я спросил у B: «Как вы думаете, A — человек?» Что ответил B? (Предполагается, что B ответил либо «да», либо «нет».)

177.

Назовем трансильванца надежным, если он либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, и ненадежным, если он либо человек, лишившийся рассудка, либо упырь в здравом уме. Надежные трансильванцы всегда высказывают истинные утверждения, ненадежные высказывают ложные утверждения (либо из-за расстройства ума, либо в силу заблуждения).

Предположим, что вы спрашиваете у трансильванца: «Вы надежны?» Он отвечает вам либо «да», либо «нет». Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: рыцарь или не упырь? Можно ли определить, в здравом ли он уме?

178.

Предположим, что вы задаете трансильванцу другой вопрос: «Вы думаете, что вы надежны?» Он отвечает либо «да», либо «нет». Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: упырь или человек? Можно ли установить, в здравом ли он уме?

Б. Жив ли граф Дракула?

179.

Напомню, что, отправляясь в Трансильванию, я прежде всего хотел выяснить, жив ли граф Дракула Задунайский. С этим вопросом я обратился к первому же встречному трансильванцу. Тот ответил: «Если я человек, то граф Дракула жив».

Можно ли по такому ответу установить, жив ли граф Дракула?

180.

Другой трансильванец в ответ на такой же вопрос заявил:

«Если я в здравом уме, то граф Дракула жив».

Можно ли из такого ответа заключить, жив ли граф Дракула?

181.

Еще один трансильванец, у которого я спросил, жив ли Дракула, ответил: «Если я человек и в здравом уме, то граф Дракула жив».

Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?

182.

Предположим, что в ответ на мой вопрос некий трансильванец заявил: «Если я либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, то граф Дракула жив».

Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?

183.

Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас в том, что граф Дракула жив и что само утверждение ложно?

184.

Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас, что граф Дракула жив и что относительно самого утверждения нельзя сказать, истинно оно или ложно?

185.

Предположим, что некий трансильванец высказал два следующих утверждения:

1) Я в здравом уме.

2) Считаю, что графа Дракулы нет в живых.

Можно ли на основании этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?

186.

Предположим, что некий трансильванец высказал следующие два утверждения:

1) Я человек.

2) Если я человек, то граф Дракула жив.

Можно ли из этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?

В. Какой вопрос задать?

187.

Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос, узнать, упырь он или человек?

188.

Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос, установить, в здравом ли он уме?

189.

Какой вопрос следует задать трансильванцу, чтобы заставить его ответить «да» независимо от того, к какому из четырех типов он принадлежит?

190.

Можете ли вы, задав трансильванцу лишь один вопрос, узнать, жив ли граф Дракула?

Г. В Замке графа Дракулы

Если бы я мог напрячь все силы своего разума и решить предыдущую задачу, то, несомненно, избавил бы себя от бесчисленных хлопот и множества неприятностей. Но я был так занят, настолько поглощен сложностью классификации трансильванцев, находящихся в здравом уме и утративших разум, изрекающих только истину или отдающих предпочтение лжи, что не мог сосредоточиться на решении задачи. Кроме того, должен признаться, что в обществе трансильванцев, среди которых за безобидной внешностью заведомо встречались упыри, я чувствовал себя не очень уютно. Мог ли я предполагать, что мне предстоят еще более суровые испытания!

Я все еще не знал, жив ли граф Дракула, и надеялся, что сумел бы получить ответ на свой вопрос, если бы мне удалось побывать в его замке. Я плохо представлял себе, что (по причинам, о которых вы вскоре узнаете) посещение замка знаменитого упыря осложнит мое и без того достаточно тяжелое положение.

Мне было доподлинно известно, где находится замок графа Дракулы. Знал я, что в замке кипит жизнь. От надежных людей я прослышал и про владельца замка, но не знал, был ли он графом Дракулой (ведь я оставался в неведении даже относительно того, жив ли граф Дракула). Попасть в замок графа Дракулы можно было только по приглашению, а приглашения получали только сливки трансильванского высшего света. Мне не оставалось ничего другого, как ценой неимоверных усилий совершить за несколько месяцев головокружительную карьеру и занять достаточно высокое положение в обществе, чтобы получить приглашение. И долгожданный день настал! Я получил приглашение на празднества, которые должны были в течение нескольких дней и ночей происходить в замке графа Дракулы.