Как же называется эта книга? - Рэймонд Смаллиан

Какое поразительное заключение следует из такого ответа?

Решения

142. Предположим, что B — рыцарь. Тогда первый остров называется Майя и, кроме того, A — лжец. Следовательно, высказанное A утверждение ложно, и поэтому не верно, что B — рыцарь и первый остров называется Майя. Но по предположению B — рыцарь, значит, первая часть утверждения истинна. Отсюда мы заключаем, что вторая часть утверждения ложна. Следовательно, первый остров не Майя. Итак если B — рыцарь, то первый остров должен и быть, и не быть островом Майя. Полученное противоречие доказывает, что B — лжец.

Так как B лжец, то A также лжец (поскольку A утверждает, что B — рыцарь). Высказанное B утверждение, как всякое утверждение лжеца, ложно, поэтому не верно, что A — лжец и первый остров называется Майя. Но первая часть утверждения истинна (так как A — лжец). Следовательно, вторая часть утверждения должна быть ложной, и первый остров — не остров Майя.

143. Ясно, что A — лжец (высказанное A утверждение не может принадлежать рыцарю). Так как B согласен с A, то B также лжец. Поскольку высказанное A утверждение ложно, то не верно, что: 1) A и B — оба лжецы и что 2) второй остров называется Майя. Но высказывание (1) истинно, поэтому высказывание (2) должно быть ложно. Итак, второй остров — не остров Майя.

144. Так как B согласен с A, то A и B либо оба рыцари, либо оба лжецы. Если бы они оба были рыцарями, то было бы не верно, что по крайней мере один из них лжец. Но тогда высказанное A утверждение было бы ложно, что невозможно, так как A — рыцарь. Следовательно, A и B — оба лжецы. Это означает, что высказанное A утверждение ложно. Но первая часть его должна быть истинной (если A и B — оба лжецы, то по крайней мере один из них лжец). Значит, вторая часть утверждения должна быть ложной. Следовательно, третий остров — не остров Майя.

145. Островитянин A — заведомый лжец, так как высказанное им утверждение не может принадлежать рыцарю. Если B — рыцарь, то из высказанного им утверждения следует, что четвертый остров — не остров Майя. Если же B — лжец, то первая часть высказанного A утверждения истинна. Но все утверждение A ложно (так как A — лжец), поэтому должна быть ложной его вторая часть. Следовательно, и в этом случае четвертый остров — не остров Майя.

146. Как и в предыдущей задаче, A должен быть лжецом, а B может быть либо рыцарем, либо лжецом, но и в том и в другом случае пятый остров — не остров Майя.

147. Если бы A был лжецом, то обе альтернативы высказанной им дизъюнкции были бы ложными, вследствие чего B был бы лжецом. В свою очередь это означало бы, что обе альтернативы высказанной B дизъюнкции ложны, и A должен бы быть рыцарем. Полученное противоречие показывает, что A — рыцарь. Следовательно, его утверждение истинно, и либо B — рыцарь, либо шестой остров называется Майя. Если вторая альтернатива истинна, то шестой остров, разумеется, остров Майя. Предположим, что истинна первая альтернатива, то есть что B — рыцарь. Тогда его утверждение истинно: «Либо A — лжец, либо этот остров называется Майя». Но A не лжец, поэтому первая альтернатива ложна. Следовательно, вторая альтернатива истинна, и шестой остров — остров Майя.

Вкратце часть наших рассуждений сводится к следующему. Мы установили, что либо B — рыцарь, либо шестой остров — остров Майя. Но, кроме того, нам известно, что если B — рыцарь, то шестой остров — остров Майя. Следовательно, шестой остров — остров Майя.

Итак, остров Майя после долгих поисков найден!

148. Если бы E был лжецом, то было бы верно, что либо E — лжец, либо C и D однотипны. Это означало бы, что лжец высказал истинное утверждение. Поскольку это невозможно, то E- рыцарь. Значит, его утверждение истинно, поэтому либо он лжец, либо C и D однотипны, а так как он не лжец, то C и D однотипны.

Предположим, что C был бы лжецом. Тогда A и B оба были бы лжецами. Высказанное D утверждение было бы истинным, поэтому D был бы рыцарем. Таким образом, C был бы лжецом, а D — рыцарем, что противоречит их однотипности. Следовательно, C должен быть рыцарем. Значит, D также рыцарь. Так как C — рыцарь, то A и B оба не могут быть лжецами, из чего мы заключаем, что либо X, либо Y — правильная карта. Предположим, что X — правильная карта. Тогда A — рыцарь, а B — лжец вопреки истинному утверждению, высказанному D, о том, что либо A — лжец, либо B — рыцарь. Следовательно, X не может быть правильной картой. Значит, Y — правильная карта.

149. Если бы сидящий на троне был лжецом, то он был бы либо лжецом, либо обезьяной. Следовательно, его высказывание было бы истинным вопреки тому, что он лжец. Значит, сидящий на троне — рыцарь, его высказывание истинно, и он либо лжец, либо обезьяна. Так как он нелжец, то он обезьяна. Итак, сидящий на троне — обезьяна и рыцарь.

150. Ясно, что сидящий на троне не рыцарь. Значит, он лжец, и его высказывание ложно. Следовательно, он либо рыцарь, либо человек. Так как он не рыцарь, то он человек. Итак, сидящий на троне — человек и лжец.

151. Предположим, что сидящий на троне был бы лжецом. Тогда было бы верно, что он не обезьяна и не рыцарь одновременно. Следовательно, его высказывание было бы истинным, и мы получили бы лжеца, способного высказывать истинные утверждения. Полученное противоречие показывает, что сидящий на троне — рыцарь. Следовательно, верно, что он не обезьяна и не рыцарь. Если бы он был обезьяной, то он был бы обезьяной и рыцарем. Значит, он человек. Итак, сидящий на троне — человек и рыцарь.

152. B не может быть лжецом, так как в противном случае его утверждение было бы истинным. Значит, B — рыцарь, поэтому его утверждение истинно, и A должен быть лжецом. Тогда утверждение A ложно, и A и B — оба люди. Следовательно, A — человек и лжец, а B — человек и рыцарь.

153. B должен быть лжецом, так как рыцарь не мог бы высказать утверждение B. Следовательно, A и B оба не могут быть лжецами, поэтому A — рыцарь. Значит, его утверждение истинно, и A и B — оба обезьяны. Итак, A — обезьяна и рыцарь, B — обезьяна и лжец.

154. Предположим, что B был бы рыцарем. Тогда A также был бы рыцарем (так как B утверждает, что A — рыцарь), и, следовательно, B должен бы быть лжецом и обезьяной. Полученное противоречие показывает, что B — лжец. Из его утверждения мы заключаем, что A также лжец. Так как первое утверждение, высказанное A, ложно, то не верно, что B — лжец и обезьяна. Но B — лжец. Следовательно, не верно, что B — обезьяна, поэтому B — человек и лжец. Из второго утверждения, высказанного A, следует, что A — обезьяна. Итак, A — обезьяна и лжец.

155. Прежде всего докажем, что G — рыцарь. Для этого достаточно доказать, что его утверждение истинно, то есть что если C — рыцарь, то F также рыцарь. Мы докажем это тем, что выведем из посылки «С — рыцарь» заключение «F также рыцарь». Итак, предположим, что C — рыцарь. Тогда A и B — оба рыцари. Следовательно, X — дверь, ведущая во Внутреннее святилище, и либо дверь Y, либо дверь Z ведет во Внутреннее святилище.

Случай 1: дверь Y ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Y ведут во Внутреннее святилище. В этом случае D — рыцарь.

Случай 2: дверь Z ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Z ведут во Внутреннее святилище. В этом случае E — рыцарь.

Итак, либо D, либо E должен быть рыцарем. Следовательно, высказанное F утверждение истинно, поэтому F — рыцарь.

Итак, из посылки «С — рыцарь» мы вывели заключение «Р — рыцарь». Следовательно, верно, что если C — рыцарь, то Р — рыцарь. Именно это и утверждал G. Значит, G — рыцарь.

Докажем теперь, что высказанное H утверждение истинно. По словам H, если G и H — оба рыцари, то A — рыцарь. Предположим, что H — рыцарь. Тогда G и H — оба рыцари. Кроме того, верно, что если G и H — оба рыцари, то A — рыцарь (именно так утверждал H, а он по предположению рыцарь). Значит, если H — рыцарь, то 1) G и H — рыцари; 2) если G и H — рыцари, то A — рыцарь.

Из (1) и (2) следует, что A — рыцарь. Таким образом, если H — рыцарь, то A — рыцарь. Именно это утверждал H, поэтому H должен быть рыцарем. Его утверждение истинно, и так как G и H — рыцари, то A — рыцарь.

Итак, мы установили, что A — рыцарь. Следовательно, дверь X действительно ведет во Внутреннее святилище, и нашему философу надлежит выбрать дверь X.

156. Первый жрец не может быть рыцарем, он должен быть лжецом. Поскольку его высказывание ложно, то не верно, что он лжец и не знает ответа на Вопрос Вопросов. Но он лжец, поэтому первая часть высказанной им конъюнкции истинна. Значит, вторая часть конъюнкции должна быть ложной, поэтому первый жрец знает ответ. Таким образом, первый жрец — лжец и знает ответ на Вопрос Вопросов.

Относительно второго жреца нельзя сказать ничего определенного. Он либо рыцарь, не знающий ответа на Вопрос Вопросов, либо лжец. Во всяком случае (и это имеет решающее значение для решения следующей задачи), если он знает ответ на Вопрос Вопросов, то он лжец.