Как же называется эта книга? - Рэймонд Смаллиан

Доказательство. Пусть S — утверждение «вы аристократ типа 1», X — утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос: «Эквивалентно ли S утверждению X?» Предположим, что вам отвечают «нет». Требуется доказать, что X должно быть истинно.

Случай 1: «бал» означает «да». B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S эквивалентно X.

Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.

Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X. Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S.

Следовательно, X истинно.

Случай 2: «бал» означает «нет». B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий «бал», утверждает, что S не эквивалентно X.

Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.

Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не эквивалентно X). Но S ложно. Следовательно, X должно быть истинно.

Итак, доказано, что ответ «бал» означает истинность высказывания X. Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ «да» означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и более коротким путем, если рассуждать следующим образом.

Предположим, что наш собеседник говорит в ответ «да». Ответ «да» на заданный вопрос означает то же, что и ответ «бал» на вопрос «Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?» (поскольку для любых двух утверждений Y и Z утверждение «Y эквивалентно Z» противоположно утверждению «Y эквивалентно не Z»). Следовательно, если бы вы задали вопрос «верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?», то ваш собеседник ответил бы «бал». А так как он ответил бы «бал», то отсюда (как доказано выше) следует, что X действительно ложное утверждение.

197. Ответ на вопрос о мелких несоответствиях.

1 и 2. В двух случаях (говоря о том, что ему ни разу не случалось упускать намеченную жертву, и разъясняя действие «волшебного» утверждения S) Дракула произносит «да». Представители высшей трансильванской знати, к числу которых принадлежит и он, не употребляют слова «да».

3. Когда свирепого вида страж сообщил мне, что я не могу покинуть замок без разрешения хозяина, с чего это вдруг я ему поверил?

4. Когда хозяин замка прислал мне ответную записку «Никаких отлучек!», с чего мне понадобилось ему верить? Ведь в тот момент я еще не знал, что владелец замка — упырь, лишившийся рассудка, и высказывает (письменно и устно) истинные утверждения.

Часть четвертая. Логика во всем своем блеске и великолепии

XIII. Логика и жизнь

А. Что такое логика

198. Определение логики по Траляля.

Мне нравится следующее определение логики, принадлежащее Траляля:

Труляля (обращаясь к Алисе). Я знаю, о чем ты думаешь, но это не так! Ни в коем разе!

Траляля Наоборот, если было так, то так могло быть, а если бы так было, то так и было бы. Но ничего такого нет. Это и есть логика.

199. Определение логики по Терберу.

В романе «Тринадцать часов» Тербер приводит определение логики, суть которого сводится примерно к следующему. Поскольку можно прикоснуться к часам, не останавливая их, то можно пустить часы, не прикасаясь к ним. Это — логика, какой я ее вижу и понимаю.

200.

Определение логики по Терберу несколько напоминает мой излюбленный силлогизм: некоторые автомашины дребезжат на ходу. Моя автомашина — это некоторая автомашина. Не удивительно, что моя автомашина дребезжит!

201. Еще одно определение логики.

Мой приятель, отставной полицейский офицер, узнав, что я логик, сказал мне однажды: «Знаешь, что я понимаю под логикой? Однажды мы с женой были в гостях. Хозяйка предложила нам отведать пирога. На подносе лежало всего два куска пирога, один побольше, другой поменьше. Немного подумав, я решил взять себе тот, что побольше. Рассуждал я при этом так. Я знаю, что моя жена любит пироги и что она знает, что я люблю пироги. Я также знаю, что она любит меня и хочет, чтобы я был счастлив. Следовательно, ей хочется, чтобы я взял себе тот кусок пирога, который побольше. Так я и сделал».

202.

Рассказ моего приятеля напомнил мне историю о двух посетителях ресторана, заказавших рыбу. Официант принес блюдо с двумя рыбами: одной побольше, другой поменьше. Один из посетителей сказал другому: «Прошу вас. Выбирайте любую, какая вам больше правится». Сотрапезник поблагодарил за любезность и положил себе на тарелку ту рыбу, которая была побольше. После напряженного молчания первый посетитель заметил: «Если бы вы предоставили мне право первого выбора, то я взял бы себе ту рыбу, которая поменьше!» «На что вы, собственно, жалуетесь? — осведомился у него другой посетитель. — Ведь вы получили именно то, что хотели!»

203.

История о двух посетителях ресторана напомнила мне еще одну историю о даме на званом обеде. Когда подали спаржу, эта дама, взяв себе с серебряного блюда все головки, передала остальное соседу. Сосед спросил: «Что вы делаете? Почему вы взяли себе все головки, а остальное отдали мне?» «Как, разве вы не знаете? — невозмутимо ответила дама. — Головки в спарже — самое вкусное».

204.

Однажды в какой-то газете мне попалась на глаза карикатура. Мальчик и девочка идут по тротуару. Мальчик идет дальше от проезжей части, чем девочка. Мимо них проезжает грузовик и обдает девочку грязью с головы до ног. Мальчик говорит своей спутнице: «Теперь ты понимаешь, почему я не хожу со стороны проезжей части как джентльмен?»

205.

Мне нравится следующее определение этики. Мальчик спрашивает отца: «Папа, что такое этика?» Отец отвечает: «Сейчас объясню тебе на примере, сынок. Как-то раз в мой магазин зашла одна дама. Оплачивая покупку, она дала мне двадцатидолларовую купюру, думая, что дает мне десять долларов. Я также подумал, что она уплатила десять долларов, и дал ей сдачу как с десяти долларов. Лишь через несколько часов я обнаружил, что дама в действительности уплатила двадцать долларов. Сообщу ли я или не сообщу об этом моему партнеру? Это и есть этика, мой мальчик».

206.

Однажды я вместе с приятелем, математиком по профессии, зашел в небольшой ресторанчик пообедать. После перечня блюд в меню стояло: «За все особо заказанное нужно особо платить». Мой приятель заметил по этому поводу: «Слово 'особо', да еще дважды повторенное, здесь явно ни к чему».

207.

На рекламе одного ресторана красовалась броская надпись:

Все вкусное не дешево.

Все дешевое не вкусно.

Означают ли эти два предложения одно и то же, или их содержание различно?

С точки зрения логики оба предложения означают одно и то же. Они эквивалентны утверждению «нет ничего, что было бы вкусно и дешево». И все же, хотя эти предложения логически эквивалентны, их психологический подтекст различен. При чтении первого предложения в моем воображении возникает мысль о вкусном блюде, за которое стоит заплатить дорого. При чтении второго рождается мысль о недоброкачественно дешевом блюде. Не думаю, чтобы моя реакция была нетипичной.

Б. Кто вы: физик или математик?

208.

Должно быть, многим известна задача о двух сосудах, в одном из которых содержится 10 мл воды, а в другом — 10 мл вина. Из сосуда с водой в сосуд с вином отливают 3 мл воды и после тщательного перемешивания 3 мл смеси переливают обратно в сосуд с водой. Спрашивается, чего больше: воды в сосуде с вином или вина в сосуде с водой?

Решать эту задачу можно двумя способами: «арифметически» (подсчитать количество воды, внесенной при переливаниях в сосуд с вином, и вина, оказавшегося в сосуде с водой) и «физическим», основанным на здравом смысле. Я отдаю предпочтение физическому решению. При арифметическом подходе задача решается следующим образом. После того как в сосуд с вином влили 3 мл воды, в нем оказалось 13 мл смеси: 3/13 составляет вода и 10/13 вино. После переливания в сосуд с водой 3 мл смеси в нем оказалось 3×10/13 = 30/13 мл вина. До второго переливания в сосуде с вином находилось 3 мл воды, из них 3×3/13 мл было перелито в сосуд с водой. Следовательно, после двух переливаний в сосуде с вином осталось 3–9/13 мл воды. Но 3–9/13 = 39/13 — 9/13 = 30/13. Таким образом, воды в сосуде с вином оказалось ровно столько же (а именно 30/13 мл), сколько вина в сосуде с водой.