Быстрая математика: секреты устного счета - Билл Хэндли

Да, наш ответ верен.

А если бы нам нужно было проверить, правильно ли мы решили пример, в ответе которого получается остаток? Как бы мы проверяли ответ, например, в следующей задаче:

165: 7 = 23 r4

Не допустили ли мы ошибки? Выбрасывание девяток позволяет определить наличие ошибок в большинстве случаев, освобождая нас от необходимости повторно решать пример.

При использовании метода выбрасывания девяток в примерах на деление мы преобразуем задачу в пример на умножение. Однако что нам делать с остатком? Мы учитываем его следующим образом:

23 х 7 = 165 — 7

Мы вычитаем остаток из делимого. Объясняется это так: при делении одного числа на некое другое мы получили остаток 4. Если бы исходное число было меньше на 4, тогда остатка мы не получили бы вовсе.

После трансформации в числа-подстановки мы получаем уравнение:

5 х 7 = 3 – 4

Остаток (4) больше, чем ответ (3), поэтому нужно либо сначала закончить сложение на предыдущем шаге (165 — 4 = = 161), либо прибавить 9 к числу, из которого мы теперь вычитаем (3). В обоих случаях мы получаем:

5 х 7 = 8

35 = 8

8 = 8

Итак, наш ответ верен.

Однако следует сделать одно важное замечание:

Нельзя использовать способ выбрасывания девяток в отношении примеров на деление, в которых ответом является число, округленное до определенного количества знаков после запятой. Выбрасывание девяток работает только для проверки точных ответов.

Проверьте ответы в решенных ниже примерах посредством выбрасывания девяток:

а) 248746: 721 = 345 r1; б) 36679: 137 = 26722; в) 6054: 17 = 356 r2; г) 3283: 49 = 67

Ответы: а), в) и г) — примеры с правильным ответом;

б) пример с неправильным ответом.

Выбрасывание одиннадцати

Выбрасывание одиннадцати — это еще один простой способ проверить полученный ответ. Его преимущество перед выбрасыванием девяток в том, что он позволяет определить, не была ли десятичная запятая ошибочно поставлена не в том месте и нет ли лишнего или, наоборот, недостающего нуля. Особую пользу он приносит в качестве дополнительной проверки к выбрасыванию девяток. Когда я умножаю на число, кратное 11 (например, 66 или 77), то использую этот метод вместе с выбрасыванием девяток.

Теперь я покажу вам два простых способа нахождения остатка от деления на 11 (выбрасывания одиннадцати).

Очень простое правило для нахождения остатка действует в случае двузначных чисел: просто отнимите цифру десятков от цифры единиц. Если цифра единиц меньше цифры десятков, тогда прибавьте к ней сначала 11.

Например:

13 х 14 = 182

Первое число у нас 13. Вычтем 1 (цифру десятков) из 3 (цифры единиц) и получим в ответе 2. Таким образом, 2 является нашим остатком.

Второе число (14) имеет остаток 3 (4–1 = 3) после выбрасывания одиннадцати.

Для нахождения остатка у числа с большим количеством знаков:

Отметьте цифры, расположенные на четных местах, с первой цифры до десятичной запятой (в случае целых чисел — начиная с первого числа справа). Отнимите цифры на четных местах от цифр на нечетных.

Чтобы найти остаток от выбрасывания одиннадцати для числа 182, отмечаем цифры на четных местах.

1 8 2

*

8 — это вторая цифра справа. Цифрами на нечетных местах являются 1 и 2. Складывая их, получаем:

1 + 2 = 3

Нельзя вычесть 8 из 3, поэтому прибавим 11 к 3.

3 + 11 = 14

14 — 8 = 6

6 — это наше контрольное число.

Числами-подстановками для 13 и 14 являются 2 и 3. Перемножая их, мы должны получить контрольное число:

2 х 3 = 6

Результат совпадает с нашим контрольным числом, поэтому ответ мы получили верный.

Выбрасывание девяток позволило бы нам сделать проверку с меньшими усилиями. Зачем вообще выбрасывать одиннадцать? Если бы в ответе у нас получилось 18,2, а не 182, выбрасывание девяток не позволило бы определить ошибку, а выбрасывание одиннадцати позволило бы. Или, если бы нашим ответом являлось 1712 (в результате неправильного использования нами способа перемножения чисел больше 10, но меньше 20), выбрасывание девяток признало бы данный ответ верным. А выбрасывание одиннадцати и на этот раз показало бы наличие ошибки.

Давайте проверим оба упомянутых ответа путем выбрасывания одиннадцати:

Цифры на четных местах дают в сумме 3 (1 + 2 = 3). Цифра на нечетном месте — 8. Остатком является 5 (8 – 3 = 5).

Задача превращается в:

2 х 3 = 5

Это заведомо ложное утверждение.

Другим нашим неверным ответом являлось число 1712:

Суммируя цифры на четных местах (1 + 1), получаем 2. Цифры на нечетных местах (7 и 2) дают в сумме 9.

9 – 2 = 7

Если бы ответ был правильным, мы получили бы равенство и у чисел-подстановок. Однако мы опять получаем заведомо ложное равенство:

2 х 3 = 7

Выбрасывание одиннадцати позволило определить ложность ответов в обоих рассмотренных случаях, тогда как выбрасывание девяток привело бы нас к выводу, что ответы являются правильными.

Рассмотрим еще один пример:

1,3 х 14 = 18,2

В числе 1,3 цифра 1 находится на нечетном месте, являясь цифрой, от которой ведется отсчет, то есть первой, а цифра 3, соответственно, — на четном.

Вычитаем 3 из 1. Поскольку 1 меньше 3, прибавляем 11.

11 + 1 = 12

Теперь можно вычесть 3 из 12.

12 — 3 = 9

Вычитаем 1 из 4, чтобы узнать остаток для числа 14.

4 – 1 = 3

В ответе (18,2) цифры 1 и 2 находятся на четных местах, а цифра 8 — на нечетном.

1 + 2 = 3

8 – 3 = 5

Наша задача выглядит так:

9 х 3 = 5

9 на 3 — 27. Чтобы найти число-подстановку для 27, вычитаем 2 из 7.

7 минус 2 равно 5, что совпадает с нашим контрольным числом.

Если бы мы получили в ответе 1,82 или 182, выбрасывание девяток не позволило бы определить ошибку.

Найдите остаток от выбрасывания одиннадцати для следующих чисел:

а) 123; б) 5237; в) 716; г) 625174; д) 2156; е) 8137

Ответы:

а) 2; б) 1; в) 1 (12, затем 1); г) 0; д) 0; е) 8

Если вы не запомнили, как находить остаток от выбрасывания одиннадцати, вернитесь назад и