Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

(-∞,∞). Поэтому часть имеет столько же элементов сколько целое. Другой пример – парадокс Grand Hotel Гильберта. Но в подходе Гильберта эти примеры не считаются противоречивыми. Классическая математика исходит из аксиом, которые принимаются на веру, без доказательства. Казалось бы, раз наука – не религия, то в ней не должно быть утверждений принимаемых на веру. Более того, как следует из теорем Гёделя, любая математика, основанная на множестве всех натуральных чисел, содержит утверждения, которые не могут быть доказаны и такая математика не может доказать, что она самосогласованна.

Я спрашивал у математиков, что раз они утверждают, что исходят из строгой науки, то тогда как же быть с теоремами Гёделя, которые говорят, что стандартная математика нестрогая? Но обычный ответ такой что раз теория, исходящая из аксиом стандартной математики хорошо описывает природу, то такой подход допустим, и вся история человечества считается подтверждением утверждения, что классическая математика в принципе может описать любые природные явления. То есть здесь математики уже отказываются от подхода Гильберта и считают, что математика – это не просто абстрактная наука в духе подхода Гильберта, а наука, которая описывает природу. И, как я уже писал, философия многих физиков еще более дубоголовая. Хотя существующая квантовая физика основана на классической математике, они считают, что даже общепринятая строгость в этой математике необязательна, а главное, чтобы теория описывала эксперимент.

Я спрашивал у физиков и математиков, что раз в природе нет бесконечно малых, то тогда выходит, что производная – нестрогое понятие. Некоторые математики отвечают, что рано или поздно электрон разделят и докажут, что бесконечно малые существуют. Физики обычно согласны, что бесконечно малых в природе нет. Они говорят, что dx/dt надо понимать как Δx/Δt где Δx и Δt – малые, но не бесконечно малые. Я им говорю: но ведь ты используешь математику с dx/dt, а не с Δx/Δt. А они говорят, что раз математика с производными хорошо работает, то незачем философствовать и придумывать что-то другое (а другой математики они не знают).

История физики показывает, что рано или поздно аргумент, что если что-то хорошо работает, то нечего философствовать, оказывается неправильным. Например, нерелятивистская механика хорошо работает в 99.9…% случаев. Но теперь мы знаем, что это потому что в этих случаях скорости намного меньше скорости света. А в случаях когда скорости сравнимы со скоростью света, нерелятивистская механика не работает. И раз в природе нет бесконечно малых, то рано или поздно проявятся случаи когда классическая математика не работает. Ниже я обсуждаю такие случаи.

Из того факта, что природа состоит из атомов, следует, что стандартные геометрические понятия (например, непрерывные кривые и поверхности) могут работать только в приближении когда размерами атомов пренебрегается. Например, если мы нарисуем на бумаге якобы непрерывную кривую и посмотрим на нее в микроскоп, то увидим, что кривая сильно разрывная так как состоит из атомов.

Исторически сложилось так, что основатели квантовой теории и физики, внесшие большой вклад в эту теорию, хотя и были высококвалифицированными учеными, но их мышление было основано на классической математике, а, скажем, дискретная и конечная математика не входили (и до сих пор не входят) в программу стандартного физического образования.

Если бы классическая математика правильно описывала все эксперименты, то, наверное, можно было примириться с тем что есть теоремы Гёделя и надеяться, что рано или поздно их можно будет обойти и выполнить программу Гильберта. Но развитие квантовой теории показало, что в рамках классической математики возникают большие проблемы в построении того что называют ultimate quantum theory. Главная проблема – что в теории возникают бесконечные выражения. В перенормируемых теориях (например, в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и электрослабой теории) бесконечности можно устранить, умножая одну сингулярность на другую. Но, например, квантовая гравитация, основанная на квантовой теории поля является неперенормируемой теорией и в ней бесконечности устранить нельзя.

Как пишет знаменитый физик и лауреат Нобелевской премии Weinberg о проблеме бесконечностей в своем учебнике [3]: “Disappointingly this problem appeared with even greater severity in the early days of quantum theory, and although greatly ameliorated by subsequent improvements in the theory, it remains with us to the present day". Название статьи Weinberg [4]: "Living with infinities".

9.6. О квантовой теории поля

Квантовая теория поля (которую в литературе называют QFT – quantum field theory) не имеет аналогов в истории науки т.к., с одной стороны, она описывает некоторые данные с поразительной точностью, а с другой основана на некорректной математике. Эта теория основана на двух главных принципах: 1) она исходит из классической математики; 2) она исходит из понятия квантованного поля на пространстве-времени. В предыдущем разделе я приводил аргументы, что самая фундаментальная квантовая теория не может исходить из 1). А сейчас приведу аргументы, что такая теория также не может исходить из 2).

Что такое классическая теория поля? Рассмотрим, например, классическую электродинамику. Она описывает классическое электромагнитное поле функциями

E(t,x) и B(t,x), где (t,x), – координаты пространства Минковского. В природе никаких пространств нет; есть только частицы и когда их много, то возникает иллюзия, что они в каком-то пространстве. В частности, пространство Минковского – только чисто математическое понятие. Мы знаем, что электромагнитное поле состоит из фотонов. В приближении когда оператор координаты работает, каждый фотон имеет свои координаты. Но в классической электродинамике каждый фотон по отдельности не рассматривается, а все фотоны вместе описываются функциями E(t,x) и B(t,x). Это аналогично тому, что статистическая физика не рассматривает каждую частицу в отдельности, а описывает ансамбли из многих частиц функциями (температурой, давлением и др.) которые не имеют смысл для каждой частицы. Ясно, что такое описание может быть лишь приближенным.

Теперь обсудим QFT. В квантовой теории есть информация о каждой отдельной частице. В частности, в приближении когда оператор координаты работает с хорошей точностью, каждая частица описывается своей координатой. В этом приближении волновая функция системы N частиц описывается волновой функцией ψ(x1, x2…xN) и нет координаты x общей для всех частиц.

В учебниках по QFT логика такая: т.к. специальная теория относительности сделана на пространстве Минковского, а группа Пуанкаре является группой преобразований этого пространства, то в квантовой теории преобразования должны описываться представлениями группы Пуанкаре, а значит генераторы таких преобразований должны удовлетворять коммутационным соотношениям алгебры Ли группы Пуанкаре. Такой подход в духе Эрлангенской Программы Феликса Кляйна (Felix Klein).

Здесь есть такая аналогия с ситуацией ОТО. Эрлангенская Программа была предложена еще раньше чем ОТО – в 1872 г., когда квантовой теории не было и в помине.