Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

Но, как отмечено выше, с точки зрения квантовой теории, понятие background space не имеет смысла так как нет координаты x общей для всех частиц. Но это понятие по-прежнему широко используется в так наз. фундаментальных квантовых теориях – QFT и string theory.

Мой научный руководитель Леонид Авксентьевич Кондратюк объяснил мне, что логика должна быть противоположная той, которая применяется в духе Эрлангенской Программы. То, что обычно называют генераторами – это как раз и есть основные физические операторы – энергия, импульс, операторы угловых и Лоренцевых угловых моментов. Симметрия Пуанкаре не потому, что есть пространство Минковского (которое является чисто классическим понятием), а потому, что основные физические операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и поэтому на классическом уровне (и только на этом уровне) возникают преобразования и пространство Минковского.

Т.е., на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Они возникают только в классическом приближении т.к. в этом приближении пространство появляется не как абстрактное пустое пространство, а как пространство событий для тел. Может быть, эта идея неявно есть в статье Дирака [5], но там она не сформулирована так явно как у Леонида Авксентьевича. Когда позже я познакомился со Скиффом Николаевичем Соколовым, то он тоже сказал, что пришел к такой идее.

В QFT элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями алгебры Пуанкаре. В таком описании, координат и пространства Минковского вообще нет, а есть только импульсы, угловые моменты и спины. При этом, имеется вероятностная интерпретация так как операторы физических величин являются самосопряженными операторами. Но, как доказано в теории представлений, с математической точки зрения часто имеется соответствие между представлениями некоторой алгебры Ли самосопряженными операторами и унитарными представлениями группы Ли соответствующей этой алгебре.

Но в QFT рассматривается также описание частиц при помощи полевых функций Ψ(x)= Ψ(t,x) удовлетворяющих ковариантным уравнениям (Дирака, Клейна-Гордона и др.) на пространстве Минковского. Такие функции возникают из неунитарных представлений группы Пуанкаре индуцированных из неунитарных представлений группы Лоренца, а зависимость таких функций от (t,x) возникает из-за того, что пространство Минковского является фактор-пространством группы Пуанкаре по группе Лоренца. В связи с тем, что такие представления неунитарны, возникает проблема с их вероятностной интерпретацией.

Паули показал, что для уравнений, описывающих поля с полуцелым спином, нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак энергии одинаковый, а для уравнений, описывающих поля с целым спином нет инвариантных подпространств в которых для всех состояний знак заряда одинаковый. Поэтому неквантованные поля описывающие частицы не имеют физического смысла. Кроме того, так как для полей Ψ(x) нет вероятностной интерпретации, то координаты x не являются операторами каких-либо физических величин. Большой успех уравнения Дирака в том, что в приближении (v/c)2 уравнение описывает с большой точностью тонкие уровни атома водорода. Но, в более высоких приближениях оно не работает. Например, оно не может описать Лэмбовский сдвиг.

Большим событием в физике частиц был результат Дирака, что его уравнение имеет решение как с положительными так и с отрицательными энергиями. Этот факт интерпретировался как существование античастиц и действительно, вскоре был найден позитрон. Но здесь возникают такие противоречия.

Если m – масса частицы, а p – ее импульс, то энергия определяется как ω(p)=(m2+p2)1/2, причем, с чисто формальной точки зрения, знак корня может быть как положительным так и отрицательным. Но этот знак должен быть одинаковым для всех частиц. Действительно, рассмотрим систему двух частиц, у которых массы одинаковые, а импульсы p1 и p2 такие, что p1+p2=0. Тогда, если для одной частицы корень взят со знаком плюс, а для другой со знаком минус, то полный 4-импульс системы будет равен нулю, что противоречит эксперименту.

Другим противоречием является следующее. Так как уравнение Дирака линейное, то суперпозиция решений с положительными и отрицательными энергиями тоже является решением, и это соответствует принципу суперпозиции в квантовой теории. Но из требования сохранения заряда, следует, что суперпозиция электронных и позитронных состояний запрещена.

Эти противоречия решают при помощи вторичного квантования. Но тогда возникает такая проблема. Квантованное поле Ψ(x) является оператором в Фоковском пространстве состоящим из бесконечного числа частиц. Каждая частица имеют свои координаты (в приближении когда операторы таких координат существуют). Поэтому аргумент функции Ψ(x) не относится ни к какой частице, это просто чисто формальный параметр возникший из вторичного квантования неквантованного поля Ψ(x). Поэтому аргумент даже нельзя назвать координатой, это просто параметр интегрирования когда лагранжиан записывается как интеграл от полей. То есть в квантовом случае аргумент не имеет физического смысла. Но все равно физики думают, что аргумент имеет смысл координаты (правда, непонятно чего).

В QFT, полевые функции Ψ(x) входят только в интегралы от Лагранжиана по d4x для S-матрицы, то есть x – это только параметр интегрирования и нет физических величин зависящих от x. Цель QFT – вычислить S-матрицу в импульсном представлении, и все наблюдаемые величины в QFT определяются S-матрицей. Когда S-матрица вычислена, мы можем забыть про x. Это соответствует S-матричной программе Гайзенберга, что в квантовой теории нельзя описывать состояния в каждый момент времени t, а смысл имеет только описание преобразования от бесконечно далекого прошлого t→-∞ до бесконечно далекого будущего t→+∞. Тот факт, что S-матрица вычисляется в импульсном представлении, не означает, что в QFT не может быть координатного описания. Оно имеется в приближении когда для каждой частицы имеется оператор координаты в импульсном представлении.

Суммируя обсуждение в этом и предыдущем параграфах, отметим следующее. QFT покоится на двух китах указанных в 1) и 2). То что 1) не является фундаментальным физическим требованием, отмечено в предыдущем параграфе, а в этом параграфе объяснено, что понятие квантованных полей на background space тоже не является фундаментальным. Понятие background space возникло из классической теории поля, а для квантованных полей оно не имеет физического смысла так как аргумент x в квантованных полях не относится к какой-либо частице и поэтому не имеет физического смысла. Нет физического закона, что S-матрица обязательно должна определяться интегралами по d4x от квантованных полей Ψ(x). Исторически сложилось так, что QFT с такими интегралами хорошо описывает многие экспериментальные данные, но, как описано ниже, такая теория также имеет фундаментальные проблемы. Поэтому нет причин думать, что ultimate quantum theory будет основана на QFT. Этот вопрос обсуждается в следующем параграфе.

9.7. Успехи и проблемы QFT

Как объяснено выше, теория основанная на 1) и 2) не может быть фундаментальной. Но, кроме этой проблемы, в QFT