Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев

точки зрения квантовой теории говорить о координатах 10-26m и временах 10-35s бессмысленно т.к. неизвестно есть ли оператор координаты на таких масштабах и проблема времени – одна из фундаментальных нерешенных проблем квантовой теории. Более того, например, в копенгагенской интерпретации квантовой теории, измерение – это взаимодействие с классическим объектом, а на этом этапе Вселенной никаких классических объектов быть не может. Но в теории инфляционной Вселенной эти проблемы даже не обсуждаются.

Например, произносятся слова, что на инфляционной стадии вселенной важны квантовые эффекты. Но как их учесть, если квантовой теории при таких условиях нет? Например, А. Старобинский добавляет к классическому лагранжиану ОТО новый член, который он называет квантовой поправкой. Но то, что к классическому лагранжиану добавили какой-то член, не означает, что теория стала квантовой. Она осталась полностью классической т.к. в ней остались классические пространство и время и классический принцип наименьшего действия.

Другой пример – теория струн или M-теория, которая провозглашается как theory of everything. Здесь считается, что вся физика будет выведена из топологии гладких многообразий на планковских длинах 10-35m. Но в физике частиц расстояния не измеряются непосредственно. Когда говорят, что какой-то процесс происходит на расстояниях l, то имеют в виду, что переданные импульсы в этом процессе – порядка ћ/l. Тогда планковским длинам соответствуют импульсы порядка 1019 Gev/c, которые, наверное, никогда не будут достижимы на ускорителях. Кроме того, при этом предполагается, что координатные и импульсные представления связаны преобразованием Фурье, а, как показано в моих работах, это предположение не основано ни на имеющихся данных ни на надежных физических принципах. Между тем, теория струн и М-теория строятся, исходя из координатного представления, хотя опыт квантовой теории показывает, что понятие непрерывных координат становится проблематичным уже на расстояниях намного больших планковских.

Я также думаю, что теории Big Bang и струн не могут быть правильными, исходя из известной фразы Бора. Как-то на обсуждении доклада на семинаре, где он присутствовал, кто-то сказал, что теория автора не может быть правильной т.к. она слишком сумасшедшая. На что Бор возразил, что эта теория не может быть правильной потому, что она недостаточно сумасшедшая. Теории Big Bang и струн явно недостаточно сумасшедшие т.к. в них предполагается, что существующие понятия работают при энергиях намного больших чем те которые мы знаем.

А в целом, мне кажется, что ситуация с инфляционной Вселенной и теорией струн, как и рассмотренные выше ситуации с так наз. обнаружением гравитационных волн и dark energy, характеризуют деградацию современной физики когда establishment поддерживает не те теории, которые доказали свою фундаментальность, а нечто экзотическое, что имеет шанс получить (при существующей системе) позиции, гранты и т.д. Правда, насколько я знаю, за инфляционную Вселенную и теорию струн (пока?) не дали Нобелевскую премию, но зато дают другие премии. Например, премия Мильнера в 3 млн. долларов больше нобелевской. Но здесь никаких возражений быть не может: Мильнер может давать из своего кармана любые премии кому захочет.

9.5. О математике в квантовой теории

Заглавие знаменитой статьи Вигнера [2] такое: “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, и статья заканчивается так:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.

Таким образом, Wigner рассматривает математику не как абстрактную науку, а как аппарат для описания природы. Так как почти всю свою жизнь я общался с физиками, то тоже так думал. Но недавно, когда готовил статью для Open Mathematics и общался с некоторыми математиками, то увидел, что они считают математику как чисто абстрактную науку для которой неважно, имеет ли она применения для описания природы.

В принципе, такой подход тоже имеет право на существование, и история показывает, что многие математические результаты, которые одно время считались чисто абстрактными, в конце концов находили свое применение в физике. Но даже если какие-то результаты не будут иметь применения, то они могут иметь чисто эстетическое значение. Ведь мы не требуем, чтобы поэзия или музыка имели какие-то приложения для описания природы.

В поэзии и музыке, главное – красота, которая словами не передается. В математике, как говорил Дирак, тоже главное – красота формул. Но здесь есть какие-то критерии. Под влиянием лекций М.А. Наймарка, я думал, что строгость математических доказательств – для математиков святое, и этим они никогда не пожертвуют. Но так ли это?

Классическая математика использует понятия бесконечно больших и бесконечно малых, которые впервые предложили Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и, исходя из повседневного опыта, думали, что любое тело можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но из самого факта существования элементарных частиц следует, что обычное деление имеет ограниченную применимость. Мы можем разделить любое макроскопическое тело на десять, тысячу, миллион, но когда мы доходим до атомов и элементарных частиц, дальнейшее деление теряет смысл. Например, энергии электронов на ускорителях в миллионы раз больше чем их энергия покоя, и такие электроны испытывают много столкновений с разными частицами. Если бы электрон можно было разделить, то это уже давно заметили бы.

Из этого простого и хорошо известного соображения казалось бы, сразу следует, что применять классическую математику в квантовой теории по крайней мере неестественно. Поэтому возникает естественный вопрос, не должна ли квантовая теория строиться, исходя из другой математики. Можно сказать, что эта проблема возникает, если считать, что математика должна описывать природу, но если считать математику чисто абстрактной наукой (как считают многие математики), то эта проблема не имеет значения, а главное – чтобы все было строго.

В таком подходе к математике (назовем его подходом Гильберта) цель математики – найти полную и самосогласованную систему аксиом в которой можно будет заключить является ли каждое математическое утверждение правильным или нет. Эта проблема формулируется как проблема Entscheidungsproblem в которой рассматриваются утверждения и ответы "Да" или "Нет" в зависимости от того является ли данное утверждение законным в любой структуре удовлетворяющей аксиомам. Можно ли найти такую систему аксиом?

Классическая математика содержит факты, которые, казалось бы, противоречат здравому смыслу. Например, функция tgx является взаимно-однозначным отображением интервала (-π/2,π/2) на