Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Отдельно разбираются понятия центра подвешивания и центра тяжести. О первом говорится, что это такая точка, подвешивание за которую оставляет систему в равновесии. При этом Герон, похоже, не понимает, что эта формулировка, по сути, и определяет цитр тяжести, который почему-то полагается чем-то иным, а именно — точкой пересечения вертикальных плоскостей, идущих от всевозможных мест подвешивания тела. Приводится даже сложное доказательство того, что в любом теле существует только один центр тяжести: тело много раз мысленно поворачивается и делится на равные части вертикальной плоскостью, после чего показывается, что предположение о пересечении данных плоскостей в различных точках приводит к абсурду. Суть доказательства вполне эллинистическая, но по форме оно дано не в виде последовательных аксиом и теорем, а в нечетком и сжатом изложении. Скорее всего, это место было переписано у Архимеда, которого Герон понял неудовлетворительно.
Закон рычага у Герона формулируется кратко, буквально одним предложением, зато дополнительно дается несколько интересных пояснений. В том числе отмечается, что реальный рычаг сам имеет некоторый вес, поэтому нельзя буквально понимать условие обратной пропорциональности между длиной плеч и весом грузов. В самом деле, предположим, что два различных груза уравновешены на физических весах, как это показано на чертеже. Если теперь отрезать те части весов, которые выступают за точки подвеса, то равновесие нарушится (действительно, от уравновешенной системы отсекли слева больше массы, чем справа), хотя расстояние между грузами и точкой опоры не изменилось. Это, чрезвычайно остроумное доказательство, к сожалению, никак не развивается — Герон даже не пытается сформулировать математические соотношения равновесия для физического рычага.
Статика сооружений у Герона
Наиболее же интересный раздел первой книги «Механики» посвящен статике сооружений и составлен со ссылкой на несохранившийся трактат Архимеда «Об опорах» (Герон прямо пишет, что из первоисточника взяты лишь вопросы, ксающиеся количественных измерений, поскольку именно это требуется учащимся по его трактату). Рассматривается проблема распределения веса горизонтальной балки на несколько подпирающих ее колонн. С самого начала безо всякого доказательства полагается очевидным, что равномерная балка, лежащая своими концами на двух колоннах, нагружает каждую из них половиной своей тяжести. В самом деле, если принять вес балки за P, то на точки A и B приходит одинаковая нагрузка, равная P/2.
Далее Герон усложняет задачу и рассуждает следующим образом. Если поместить между двумя колоннами третью, то для вычисления нагрузок необходимо мысленно разрезать балку над каждой точкой опоры. Поскольку в таком случае никаких дополнительных перемещений не произойдет, то и распределение тяжести останется прежним. Теперь задача сводится к предыдущему случаю: мы имеем балки AC и CB, каждая из которых опирается концами на две колонны. Поэтому, согласно Герону, левая колонна воспримет нагрузку PAC/2, центральная — нагрузку PAC/2+ PCB/2, а правая — нагрузку PCB/2. Иными словами, на центральную колонну, где бы она ни располагалась, придет половина от веса балки, а его вторая половина распределяется между крайними колоннами в соответствии с отношением длин CB/AC. Данное рассуждение затем распространяется Героном на любое число колонн.
Предложенное решение задачи с тремя колоннами абсолютно неверно, ведь после разрезания балки в ней полностью меняется распределение внутренних сил. В общем случае системы такого рода (если опор более двух) являются статически неопределимыми и не могут быть рассчитаны без учета деформирования элементов конструкции. Поскольку иных античных источников по данной теме не сохранилось, то нет никакого способа определить, кто именно — Архимед или Герон — допустил тут ошибку.
Также неверно Герон рассуждает и тогда, когда рассматривает балку, конец которой выступает за одну из колонн. Поначалу ход рассуждений, в общем-то, верен. Предположим, что балка размещена на опорах A и C, тогда вес PCB должен уравновеситься равным ему весом PB’C левой части балки. Весь этот вес 2·PCB будет восприниматься колонной C. Оставшийся же вес PAB необходимо каким-то образом разделить между обеими колоннами, и Герон ошибочно распределяет его поровну, хотя отлично знает закон рычага и вполне мог бы отнести на каждую из опор такую часть от груза, которая была бы обратно пропорционально расстоянию до его центра тяжести.
Еще более удивительно, что рассматривая балку, на которой подвешены различные дополнительные грузы, Герон вдруг вспоминает про закон рычага и дает совершенно правильное решение. Пусть на балке весом P подвешены грузы P1 и P2. Тогда в современных обозначениях на колонну A приходит нагрузка равная
а на колонну B приходит нагрузка
Интересно, что Герон умеет решать даже пространственные задачи. Когда требуется определить нагрузки, приходящие на колонны, подпирающие вершины треугольника, предлагается следующий порядок действия. Вес P треугольника ABC (левый чертеж) можно полагать сосредоточенным в его центре тяжести O, то есть на 1/3 длины медианы AM, если считать от основания BC. В соответствии с законом рычага на опору A придет тяжесть равная P/3, а на точку M придет тяжесть 2·P/3. Поскольку BM = MC, то тяжесть из точки M распределится между опорами B и C поровну, то есть на каждую из них тоже придет нагрузка равная P/3. Таким образом, получен абсолютно правильный вывод: каким бы не был треугольник, но опоры в вершинах всегда воспринимают одинаковую нагрузку.
Отдельно рассматривается случай, когда в любом месте треугольника (точка K на правом чертеже) расположен произвольный груз весом Q. В данном случае Герон рассуждает так. Проведем прямую через точку K и одну из вершин треугольника. В таком случае, очевидно, на опору A придет нагрузка Q·NK/NA, а на точку N придет вес Q·KA/NA. Далее легко увидеть, что на опору B приходится тяжесть Q·(KA/NA)·NC/BC, а на опору C — тяжесть Q·(KA/NA)·BN/BC.
Расчет сложных механизмов у Герона
Вторую книгу «Механики», — где рассматриваются пять основных механизмов, позволяющих перемещать грузы малой силой: ворот, рычаг, блок, клин и винт, — Герон, вероятно, почти целиком заимствовал из какого-то одного источника, поэтому она изложена достаточно стройно, однако в ней еще яснее проявляется теоретическая беспомощность
