Природа боится пустоты - Дмитрий Александрович Фёдоров

из сохранившихся работ Архимеда «О равновесии плоских фигур или о центрах тяжести плоских фигур» посвящена именно равновесию и нахождению центров тяжести различных тел.

Впрочем, сразу оговоримся, что в указанном сочинении не встречается определение центра тяжести, поскольку оно, вероятно, уже давалось в одном из предыдущих и не дошедших до нас текстов. Судя по более поздним замечаниям Паппа Александрийского, центр тяжести по Архимеду, это точка, при подвешивании за которую тело всегда остается в равновесии. При этом вполне осознавался тот факт, что во многих случаях закрепить тело за его центр тяжести возможно лишь мысленно. Зато у того же Паппа мы находим следующую практическую рекомендацию: чтобы отыскать центр тяжести у реального объекта, необходимо подвесить его за несколько различных точек, каждый раз провести воображаемую вертикальную плоскость через точку подвеса, тогда в месте пересечения всех таких плоскостей и будет находиться центр тяжести. Откуда известно, что подобная точка обязательно отыщется — не уточняется.

В остальном же структура трактата «О равновесии плоских фигур…» в полной мере соответствует образцу евклидовых «Начал». С самого начала Архимед выдвигает семь предварительных постулатов о работе весов (в очень характерной формулировке «Мы требуем, чтобы…»), следующего содержания:

1. Одинаковые равноудаленные тяжести находятся в равновесии, а одинаковые тяжести удаленные на различные расстояния не находятся в равновесии, и перевес происходит в сторону той тяжести, которая удалена на большее расстояние.

2. Если две каких-то тяжести уравновешены на определенных расстояниях, и если к одной из них что-нибудь добавить, то равновесие нарушится в сторону увеличенной тяжести.

3. Если в схожей ситуации наоборот отнять что-нибудь от одной из двух тяжестей, то равновесие нарушится в сторону той тяжести, которая осталась неизменной.

4. Если две равновеликие и подобные плоские фигуры совпадут при наложении, то их центры тяжести тоже совпадут.

5. В подобных, но неравновеликих фигурах центры тяжести расположены сходственно.

6. Если два тела уравновешены на определенных расстояниях, то и равновеликие им тела уравновесят друг друга на тех же самых расстояниях.

7. Если фигура всюду выпукла, то центр тяжести находится внутри нее.

Все эти утверждения действительно самоочевидны для каждого, кто знаком с устройством обыкновенных весов, однако тут важна даже не физическая, а рациональная истинность: эти постулаты действительно сложно оспорить (хотя, конечно, при желании можно принципиально отказаться признать любой из них), поэтому теперь на их фундаменте можно было строить надежное здание механической науки. Архимед приступает к доказательству постепенно усложняющихся теорем.

Так, например, утверждается, что центр тяжести системы из двух одинаковых тел находится на середине прямой, соединяющей их центры тяжести. Здесь по умолчанию предполагается, что центр тяжести обязательно лежит на прямой AB, но этот факт не вытекает из перечисленных постулатов. По-видимому, это уже доказывалось в другой книге. Так или иначе, но приняв данное положение, Архимед путем сведения к абсурду легко доказывает, что AO = OB, иначе опертая в точке O система выйдет из равновесия (хотя, поскольку определения центра тяжести в работе не дается, то не совсем ясно, почему, собственно, она вообще должна в нем находиться).

Теперь уже легко доказать, что если взять три одинаковых лежащих на одной прямой и равноотстоящих друг от друга тела, то их общий центр тяжести совпадет с центром тяжести среднего тела (точка B на чертеже). Продолжая рассуждения, можно показать, что, сколько бы мы ни взяли таких тел, но центр тяжести системы всегда окажется посередине между первым и последним.

Завершив подготовительный этап, Архимед приступает к доказательству основной теоремы, обосновывающий принцип рычага: соизмеримые тяжести уравновешиваются на расстояниях обратно пропорциональных их весу. В самом деле, рассмотрим весы с опорой в точке O. Пусть на противоположных концах весов A и B подвешены грузы весом P и Q, причем

Поскольку P и Q соизмеримы, то можно записать их как P = p·k и Q = q·k, где p и q являются целыми числами, а вес k есть общая мера для P и Q.·Отсюда следует, что

Разделим отрезок AB в соотношении q: p, то есть поделим AO на q частей, а OB поделим на p частей (на чертеже условно выбрано q = 4 и p = 7, но на ход дальнейших рассуждений это никак не повлияет). Введем также точку D, которая делит отрезок AB, в обратном соотношении p: q. Слева от A добавим еще p частей, а справа от B добавим еще q частей. Разместим на каждой части грузик весом k/2.

Легко видеть, что АВ = A’O = OB’ = p+q, а точка O является серединой A’B’. Общий центр тяжести системы всех расположенных на A’B’ грузиков k/2 находится в точке O, что уже доказано в теореме о множестве равноудаленных одинаковых тел, расположенных на одной прямой. Значит, отрезок A’B’ с размещенными на нем грузиками должен находиться в равновесии, если будет оперт в точке O.

Все грузики на отрезке A’D имеют вес 2·p·k/2 = P, а их центр тяжести находится в точке A. Согласно исходному шестому постулату все эти грузики можно без нарушения равновесия заменить одним грузом P, подвешенным в точке A.

Аналогично, грузики на отрезке DB’ имеют вес 2·q·k/2 = Q, а их центр тяжести находится в точке B. Согласно исходному шестому постулату все эти грузики можно без нарушения равновесия заменить одним грузом Q, подвешенным в точке B.

Таким образом, мы свели заведомо равновесное состояние к исходному — закон рычага для соизмеримых тяжестей доказан. Распространить это доказательство на случай несоизмеримых величин относительно нетрудно, и Архимед делает это по заимствованному у Евклида шаблону.

Оставшиеся главы работы Архимеда о равновесии, хоть и составляют три четверти от объема всего текста, но малоинтересны для нас, поскольку посвящены в основном чисто геометрическому определению положения центров тяжести различных плоских фигур, зачастую весьма причудливых и не имеющих почти никакого практического значения.

Работы Архимеда по гидростатике

Построив статику рычага по строгим лекалам эллинистической геометрии, Архимед занялся также и вопросами статики гидравлической. Эти исследования были не праздным или частным увлечением, но развитием работ многих его предшественников. Согласно некоторым источникам и Архит, и Стратон, и многие другие греческие мастера и ремесленники умели изготавливать игрушки и механизмы, приводящиеся в движение силой сжатой воды или воздуха. Очевидно, эллины очень рано поняли, что воздух упруг, а нагретая вода стремится расшириться, но общепринятой