Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

удвоении численности населения количество связей увеличивается на лишние 15 процентов. Как я объясню в последующих разделах этой книги, сети такого типа возникают во многих разных сценариях, и это обстоятельство оказывается чрезвычайно удобным для прокладки шорткатов.

Паттерны обманчивые

Хотя паттерны обладают невероятной силой, использовать их следует с осторожностью. Вы можете отправиться по такому пути, считая, что, вероятно, знаете, куда вы идете. Но иногда этот путь может завернуть в странном и неожиданном направлении. Возьмем ту последовательность, которую я предлагал вам решить раньше:

1, 2, 4, 8, 16 …

Что, если я скажу вам, что следующее число в этой последовательности – не 32, а 31?

Если взять круг, отмечать на его окружности точки и соединять все эти точки прямыми линиями, каково будет максимальное число областей, на которые можно разделить этот круг? Если точка всего одна, никаких линий не будет и область получится тоже всего одна. Если добавить еще одну точку, две точки можно соединить линией, которая разделит круг на две области. Добавим третью точку. Проведя все возможные линии, соединяющие эти точки, получим треугольную фигуру, окруженную тремя секторами круга: всего четыре области.

Рис. 1.1. Первые пять чисел деления круга

Если продолжить действовать таким же образом, кажется, что проявляется паттерн. Вот данные по числу областей, получающихся при добавлении очередных точек на окружности:

1, 2, 4, 8, 16 …

В этот момент разумно предположить, что добавление очередной точки удваивает число областей. Проблема заключается в том, что этот паттерн нарушается, как только я добавляю шестую точку. Как ни старайся, число областей, на которые линии разбивают круг, оказывается равным 31. А вовсе не 32!

Рис. 1.2. Шестое число деления круга

Для числа областей существует формула, но она чуть сложнее, чем простое удвоение. Если на окружности есть N точек, максимальное число областей, которые можно получить, соединяя эти точки, равно

1/24 (N4 – 6N3 + 23N2 – 18N + 24).

Мораль тут следующая: важно знать, что именно описывают ваши данные, а не полагаться на одни лишь числа. Обработка данных может быть делом опасным, если она не сочетается с глубоким пониманием того, откуда взялись эти данные.

Вот еще одно предостережение относительно шорткатов такого рода. Каким должно быть следующее число в этой последовательности?

2, 8, 16, 24, 32 …

В ней много степеней двух. Но что там делает число 24? В общем, если вы сумели заключить, что следующее число этой последовательности – 47, я советую вам в ближайшую же субботу купить лотерейный билет. Это выигрышные номера тиража британской Национальной лотереи, разыгранного 26 сентября 2007 года. Мы настолько пристрастились к поиску паттернов, что часто видим их там, где никакого паттерна ожидать нельзя. Лотерейные билеты выпадают случайным образом. Без паттернов. Без тайных формул. Шорткатов к миллионным состояниям не бывает. Однако в главе 8 я объясню, что даже случайные вещи следуют неким паттернам, которые можно рассматривать в качестве потенциальных шорткатов. Если речь идет о случайностях, шорткатом будет рассмотрение долгосрочной перспективы.

Концепцию паттерна можно использовать в качестве шортката к пониманию того, действительно ли какое-либо явление случайно, и этот метод имеет отношение к легкости запоминания числовых последовательностей.

Шорткат к хорошей памяти

Поскольку в интернете каждую секунду появляется огромное количество данных, компании ищут более рациональные способы их хранения. Выявление паттернов в данных облегчает их сжатие, благодаря которому для их хранения требуется меньше места. Именно эта идея лежит в основе технологий, подобных форматам JPEG или MP3.

Возьмем изображение, составленное только из черных и белых пикселей. В любом таком изображении где-нибудь может быть большой участок, состоящий из сплошных белых пикселей. Можно не описывать по отдельности каждый белый пиксель, используя для сохранения изображения такое же количество памяти, которое требуется для всех его данных, а прибегнуть к шорткату. Тогда нужно записать информацию о местоположении границы области белых пикселей и просто добавить указание закрасить эту область белым. Как правило, программный код, который я могу написать для такого закрашивания, займет гораздо меньше места, чем записи о каждом белом пикселе этой области.

Любые паттерны такого рода, которые можно обнаружить в пикселях, пригодны для написания кода, благодаря которому для записи изображения потребуется намного меньше памяти, чем для сохранения данных каждого пикселя по отдельности. Возьмем, к примеру, шахматную доску. В ее изображении есть чрезвычайно явный паттерн, позволяющий нам написать программу, просто повторяющую комбинацию из черной и белой клеток 32 раза. Эта программа не будет больше даже для доски огромного размера.

Я полагаю, что такие паттерны лежат и в основе того способа, которым человек запоминает данные. Должен признаться, что у меня очень плохая память. Я думаю, это было одной из причин, по которым меня привлекла математика. Математика всегда была моим оружием против ужасной памяти на имена, даты и случайные сведения, в которых я не могу найти логики. На уроках истории я понятия не имел, в каком году умерла королева Елизавета I; если мне говорили, что это случилось в 1603 году, я забывал эту дату уже через десять минут. На французском мне было трудно запомнить все формы неправильного глагола aller[19]. На химии я постоянно забывал, что именно горит фиолетовым пламенем – калий или натрий. Но, когда речь шла о математике, я мог восстановить любую информацию, опираясь на паттерны и логику, которые я находил в этой дисциплине.

Я подозреваю, что это один из способов, которые мы используем для запоминания. Память опирается на способность нашего мозга выявлять паттерны и