Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

книга – мой выборочный путеводитель по двухтысячелетней истории улучшенного мышления. Освоение хитроумных туннелей или скрытых проходов математического ландшафта заняло у меня несколько десятилетий, а на их создание у математиков, работавших на протяжении всей истории человечества, ушли целые тысячелетия. Но в этой книге я постарался выделить самую суть этих ухищренных стратегий решения сложных задач, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Она – ваш шорткат к искусству шортката.

1

Шорткаты паттернов

У вас в доме есть лестничный пролет с 10 ступеньками. Вы можете идти по лестнице, шагая на каждую ступеньку или через одну. Например, чтобы подняться до верха, вы можете сделать 10 одинарных шагов или 5 двойных. Также можно сочетать одинарные шаги с двойными. Сколько существует возможных комбинаций шагов, позволяющих подняться на самый верх? Эту задачу можно решить «в лоб» – попытаться найти все комбинации, поднимаясь и спускаясь по лестнице. Но как решил бы ее юный Гаусс?

Хотите узнать шорткат к увеличению зарплаты на 15 процентов при выполнении той же самой работы? Или, может быть, шорткат к превращению небольшой инвестиции в крупный капитал? А как насчет шортката к пониманию вероятного поведения курса каких-нибудь акций в ближайшие месяцы? Не кажется ли вам, что вы снова и снова изобретаете колесо[16] и в то же время ощущаете, что между всеми этими колесами, которые вы создаете, есть какая-то связь? Не хотите ли получить шорткат, который поможет вам улучшить «вашу ужасную память»?

Я перейду прямо к делу и расскажу вам об одном из самых эффективных шорткатов, открытых человеком. Это умение замечать паттерны. Способность человеческого разума различать в окружающем нас хаосе паттерны подарила нашему виду в высшей степени замечательный шорткат: возможность знать будущее еще до того, как оно станет настоящим. Если вы можете увидеть в данных, описывающих прошлое и настоящее, некий паттерн, то, продлив его еще дальше, вы получаете возможность предсказать будущее. Не дожидаясь его наступления. На мой взгляд, могущество паттернов составляет самую суть и самый действенный шорткат математики.

Паттерны позволяют нам увидеть, что числа изменяются по одним и тем же правилам, даже если сами числа различны. Выявив правило, лежащее в основе паттерна, я могу не повторять одну и ту же работу каждый раз, как мне встретится новый набор данных. За меня работает паттерн.

В экономике полно данных, следующих паттернам, которые, если только их правильно распознать, могут привести нас к будущему процветанию. Хотя, как я объясню ниже, некоторые паттерны бывают обманчивы – мир увидел это на примере финансового краха 2008 года. Паттерны в численности зараженных вирусом позволяют нам отследить траекторию распространения пандемии и вмешаться, прежде чем она станет слишком смертоносной. Космические паттерны помогают нам понимать наше прошлое и будущее. Из чисел, описывающих, как звезды удаляются от нас, мы вывели паттерн, который говорит нам, что наша Вселенная началась с Большого взрыва, а в будущем закончится холодным состоянием, которое называют тепловой смертью.

Именно эта способность выискивать паттерны в астрономических данных и позволила начинавшему карьеру юному Гауссу завоевать на мировой сцене славу мастера шортката.

Паттерны планетарные

В день нового, 1801 года в Солнечной системе была обнаружена восьмая планета, орбита которой проходила где-то между Марсом и Юпитером. Ее нарекли Церерой, и в ее открытии все видели великое предзнаменование будущего науки в только что начавшемся XIX веке.

Однако всего через несколько недель восторг сменился отчаянием: маленькая планета (бывшая на самом деле всего лишь астероидом), приблизившись к Солнцу, исчезла из виду, потерялась среди множества звезд. Астрономы понятия не имели, куда она делась.

Тогда прошел слух, что некий 24-летний юноша из Брауншвейга заявил, будто знает, где искать пропавшую планету. Он сказал астрономам, куда им нужно направить свои телескопы, – и как будто по волшебству, Церера действительно оказалась там. Этим молодым человеком был не кто иной, как мой герой, Карл Фридрих Гаусс.

После первых школьных достижений в девятилетнем возрасте Гаусс продолжил совершать интереснейшие математические открытия, в том числе изобрел способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи только линейки и циркуля. Эта задача оставалась нерешенной в течение 2000 лет, с тех самых пор, как древние греки начали придумывать хитроумные способы построения геометрических фигур. Гаусс был так горд этим свершением, что начал вести математический дневник, в который заносил в последующие годы свои поразительные открытия в области чисел и геометрии. Но особенно его заинтересовали данные новой планеты. Можно ли найти в величинах, измеренных до исчезновения Цереры за Солнцем, логику, которая объяснила бы, где ее искать? В конце концов он разгадал и этот секрет.

Разумеется, в его великом астрономическом свершении не было никакого волшебства. Одна лишь математика. Астрономы открыли Цереру по случайности. Применив средства математического анализа, Гаусс выявил паттерн, скрывавшийся за числами, которые описывали положение этого астероида, и узнал, где он должен оказаться в будущем. Конечно, паттерны динамики космических тел замечали и до него. Астрономы использовали этот шорткат к ориентации в ночном небе для составления предсказаний и планирования будущего с тех самых пор, как род человеческий понял, что между будущим и прошлым существует связь.

Благодаря паттерну смены времен года крестьяне могли планировать сев. Каждое время года соответствовало особому расположению звезд. Паттерны поведения – миграции и спаривания – животных позволяли древнему человеку охотиться в наиболее удобные для этого моменты, когда можно получить максимальную добычу с минимальной затратой сил. Способность предсказывать затмения делала предсказателя важным членом племени. Хорошо известно, что в 1503 году, когда суда Христофора Колумба сели на мель на Ямайке, он спас свой экипаж, попавший в плен к местным жителям, воспользовавшись своими знаниями о надвигавшемся лунном затмении. Туземцев так поразила его способность предсказывать исчезновение Луны, что они согласились отпустить пленников на свободу.

Назовите следующее число

Суть поиска паттернов идеально выражают задачи, которые вам, вероятно, приходилось решать в школе: вам дают последовательность чисел и просят определить следующее число в