Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

Важное значение для астрономии имела стереографическая проекция сферы на плоскость, основанная на одном из первых предложений "Конических сечений" Аполлония, в котором доказано, что в наклонном круговом конусе кроме круговых сечений параллельных основанию имеется второе семейство круговых сечений. При стереографической проекции прямые, проектирующие точки окружности на сфере, образуют поверхность кругового конуса, в общем случае наклонного, и пересечение этой поверхности с плоскостью проекции является круговым сечением второго семейства. Поэтому при стереографической проекции окружности на сфере, не проходящие через центр проекции, изображаются окружностями на плоскости. Другим важным свойством этой проекции является ее конформность, т.е. сохранение углов между линиями. Стереографическая проекция применялась в изобретенном Аполлонием астрономическом инструменте "арахне"и в средневековых астролябиях, основанных на тех же принципах, что и инструмент Аполлония.

Менелай

Моя книга "История неевклидовой геометрии" начинается с рассмотрения сферической геометрии в "Сфериках" математиков I I - I вв. до н.э. Феодосия и Менелая. Особенно важна книга Менелая, в которой доказано, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов, а также найдена первая теорема сферической тригонометрии - теорема Менелая о полном сферическом четырехстороннике. В этой теореме роль синусов дуг играют хорды, стягивающие эти дуги.

Птолемей

Астрономический труд Клавдия Птолемея (ок.100-ок.200 н.э) обычно называемый "Алмагест", в греческом оригинале назывался "Syntaxis mathe- matike", т.е."Математическое сочинение", что отражало мнение Аристотеля о "надлунном мире" как области математики. Сочинение Птолемея в разных рукописях называлось по-разному, одно из этих названий "Megiste Syn­taxis " - "Величайшее сочинение" было переделано арабами в "ал- Маджисти", откуда и произошло общепринятое название "Алмагест". В I книге "Алмагеста" доказываются теорема Менелая, теорема Птолемея, равносильная формуле синуса суммы двух дуг, и приводится таблица хорд, равносильная таблице синусов. Птолемей применял теорему Менелая для решения задач сферической астрономии. В "Алмагесте" изложена теория движения Солнца, Луны и 5 планет по деферентам и эпициклам в пустом пространстве.

В другом астрономическом труде Птолемея "Планетные гипотезы" изложена теория движения тех же светил по трубам в массивных сферах. Идея массивных сфер, по-видимому, восходит к хрустальным сферам Пифагора".

Я изучал также другие сочинения Птолемея - "Оптику", "Гармонику" и "Географию". "Оптика" Птолемея, как и "Оптика" Евклида, основана на теории зрительных лучей. "Гармоника" посвящена теории музыки. "География" содержит интереснейшую информацию о морях, реках, народах и городах Европы, Азии и Африки. Птолемей называл Волгу Ра. В его времена на Волге не было ни русских, ни татар, но, как видно из его сочинения, была мордва, на одном из диалектов которой Волга и сегодня называется Рав. Реку Урал Птолемей называл Даикс, эта река и сегодня называется по-казахски Жаик, откуда ее старое русское название Яик. Из сочинения Птолемея видно, что предки казахов жили около этой реки и в его времена. Названия многих городов Восточной Азии у Птолемея оканчиваются на "-тра". Так как на персидском языке того времени "город" обозначался словом "шатра", ясно, что информация Птолемея о Восточной Азии была получена им от персов, которые до арабского завоевания обладали мощным морским флотом. Замечу, что китайское название компаса, буквально означающее "указатель юга", - перевод персидского названия. Скандинавию Птолемей считал островом и называл Скандией, Балтийское море он называл Венедским заливом. Венеды - название нескольких славянских племен. От одного из них происходит название Венеции. Немцы называют славян Восточной Германии Wenden. Вентичи или вятичи - одно из русских племен, от этого названия происходит эстонское название русских vene, подобно тому, как латышское название русских krievs происходит от названия другого русского племени - кривичей.

Среди германских племен Европы Птолемей называл неметов. Распространено мнение, что название "немец" появилось потому, что немецкие купцы не умели говорить по-русски и были "как немые". Меня всегда удивляло, почему название "немец" применялось только к одному народу, хотя остальные иностранцы находились в таком же положении. Из "Географии" Птолемея видно, что название "немец" произошло не от слова "немой", а от названия племени неметов, которые, по-видимому, какое-то время жили по соседству со славянами и с венграми, которые называют немцев nemet.

Диофант

Просматривая каталог рукописей в библиотеке святилища Ризы в Мешхеде, я обнаружил, что в этой библиотеке имеется рукопись арабского перевода нескольких книг "Арифметики" Диофанта (III в. н.э.).Как я ни старался, мне не удалось получить фотокопию или микрофильм этой рукописи. Это удалось Рушди Рашеду из Парижа и Жаку Сезиано из Лозанны, которые издали эту рукопись с французским и английским переводами. Получив от них издания мешхедской рукописи, я перевел ее на русский язык и написал совместно с И.Г.Башмаковой и Е.И.Славутиным статью об этой рукописи. До появления этой рукописи из 13 книг "Арифметики" Дофанта было известно только 6. В этой рукописи оказался перевод еще 4 книг этого труда. "Арифметика" Диофанта это по существу алгебра (арабский переводчик озаглавил свой перевод "Алгебра"). В известных ранее 6 книгах встречались 6 степеней неизвестной величены - число, квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и кубо-куб. В новых книгах появились еще две степени - 8-я - квадрато-квадрато-квадрато- квадрат и 9-я - кубо-кубо-куб.

Большая часть труда Диофанта посвящена неопределенным уравнениям, в которых находятся решения, выражаемые рациональными числами a/b, где а и b - натуральные числа. Уравнения Диофанта допускают геометрическую интерпретацию, предложенную И.Г.Башмаковой: неопределенные уравнения с двумя и тремя переменными можно рассматривать как уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Пару уравнений с тремя неизвестными можно рассматривать как уравнения линии в пространстве. Более сложные неопределенные уравнения и системы таких уравнений допускают интерпретации в многомерных пространствах.

Для получения решений Диофант обычно дополнял свои уравнения линейными уравнения до n уравнений с n неизвестными и находил решения этих систем.

Я изучал значение "гипергеометрических" названий степеней у Диофанта и других математиков для создания многомерной геометрии.

Папп и Теон