Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

В V веке н.э. индийские астрономы перевели слово basis "основание" словом "пада", означающим основание стены и корень дерева. В VIII веке арабские математики перевели слово "пада" словом "джизр" - корень. В XII веке европейские математики перевели слово "джизр" латинским словом radix, которое впоследствии было переведено на живые европейские языки словами, означающими корень. Так появились термины современной математики "корень" и "радикал."

Пифагорейцы называли произведения двух и трех чисел, соответственно, плоскими и телесными числами и изображали их прямоугольниками и параллелепипедами, что и привело к геометрической алгебре.

Так как Пифагор был одним из творцов геометрической алгебры, я считаю, что его доказательство "теоремы Пифагора" было таким. Рассматривая прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, Пифагор строил квадрат на гипотенузе и с внешней стороны этого квадрата пристраивал к нему треугольники равные данному. Получался большой квадрат со сторонами а+b. Так как площадь данного треугольника равна аb/2, то площадь большого квадрата равна c2+2ab. С другой стороны, так как большой квадрат можно разделить на два квадрата со сторонами а и b, и два прямоугольника, его площадь в силу известной теоремы геометрической алгебры равна а2 + 2аb + b2. Из равенства с2+2аb=a2+2ab + b2 вытекает равенствo c2= а2+b2.

Пифагорейцы определили простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, совершенные числа, равные суммам своих делителей, и дружественные числа - пара чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого числа.

В отличие от гилозоистов, которые считали началом всего те или иные материальные элементы, пифагорейцы считали началом всего абстрактное понятие - число, и объясняли все закономерности мира отношениями натуральных чисел.

Платон

После открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, отношения которых не являются отношениями натуральных чисел, их школа потерпела крах. Ей на смену пришла школа Платона (427-347 до н.э.), который заменил арифметику в объяснении закономерностей мира геометрией. Платон написал на дверях своей Академии "Да не войдет сюда необученный геометрии". Платон значительно способствовал развитию математики, его ученики Евдокс и Теэтет были крупными математиками.

Платон не любил Демокрита, скупал рукописи его сочинений и сжигал их.

Аристотель

Занимался математикой и Аристотель (384-322 до н.э.) В своей "Физике" Аристотель дал определения непрерывности и бесконечности и сформулировал принцип: "Непрерывная величина не может состоять из неделимых частей, например, линия из точек". Аристотель считал, что непрерывная величина может быть только "геометрическим местом" в котором находятся точки. В "Первой Аналитике" Аристотель разработал теорию силлогизмов, а "Во второй Аналитике"- теорию доказательств.

По мнению Аристотеля мир состоит из трех областей :

подлунного мира - от центра Земли до орбиты Луны, в котором действуют законы обычной физики,

надлунного мира - от орбиты Луны до сферы неподвижных звезд, в котором возможно движение только с постоянной скоростью и по идеальным линиям - прямым и окружнастям,

области за сферой неподвижных звезд, в которой живут боги.

Аристотель называл эти области областью физики, областью математики и областью божественной науки.

В обнаруженном мной в Баку математическом трактате Омара Хайяма приведены пять "принципов, заимствованных у Философа", 4 из которых являются известными утверждениями Аристотеля, откуда видно, что Философом Хайям называл Аристотеля. Тот из этих принципов, который отсутствует в известных нам сочинениях Аристотеля, гласит: "Две сходящиеся прямые линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения". Этот принцип, равносильный V постулату Евклида, по-видимому, был сформулирован Аристотелем в одном из его сочинений, которое не сохранилось.

" Во "Второй Аналитике" Аристотель указывал, что те, кто писал о параллельных линиях, совершали логическую ошибку "постулирование основания", т.е. неявно предполагали выполненным утверждение равносильное доказываемому. Отсюда ясно, что "принцип Философа" равносильный V постулату Евклида, был сформулирован Аристотелем в результате анализа того, что писали его предшественники о параллельных линиях. Утверждениям о параллельных линиях в других сочинениях Аристотеля посвящена статья Имре Тота "Теория параллельных у Аристотеля".

Во многих трудах Аристотеля цитируются недошедшие до нас сочинения Пифагора и Демокрита.

Евклид

Евклид (ок. 365 - ок.300 до н.э.) в своих "Началах" подвел итог античной элементарной геометрии и теории чисел. Когда Евклид закончил работу над этой книгой, он преподнес один экземпляр египетскому царю Птолемею I, в столице которого Александрии он работал. Царь перелистал книгу с непонятными для него чертежами и спросил Евклида: "Нет ли более короткого пути в науку, хотя бы для царя?". "Нет, - ответил Евклид, - нет царского пути в науку".

В Советском Союзе были очень популярны слова Маркса из его предисловия к французскому изданию "Капитала". Эти слова печатались на обложках тетрадей и были написаны на многих плакатах, висевших во всех школах и вузах : "К науке не ведет широкая столбовая дорога, и только тот может расчитывать достичь ее сияющих вершин, кто, не страшась трудов, карабкается по ее каменистым тропам". Перевод этот был сделан В.И.Лениным в одной из его статей. Во французском оригинале предисловия Маркса первые слова этого отрывка звучат так: "Il n'y a pas le roite royal pour la science", - "Нет царского пути в науку", т.е. Маркс процитировал слова Евклида. Ленин не знал этих слов Евклида и он перевел слова "царский путь" как "королевскую дорогу", которую он считал "широкой столбовой дорогой ".

Б.Л..Ван дер Варден доказал, что 13 книг "Начал" Евклида являются обработками сочинений греческих математиков IV века до н.э. На основе сочинений Гиппократа Хиосского составлены I книга об основах планиметрии, II книга о геометрической алгебре, III книга о кругах, IV книга о правильных многоугольниках и XI книга об основах стереометрии. На основе сочинений Евдокса составлены V книга о теории отношений геометрических величин, VI книга о подобии плоских фигур и XII книга о площадях и объемах.На основе сочинений пифагорейцев составлены VII-IX книги о теории чисел На основе сочинений Теэтета составлены X книга о квадратичных иррациональностях и XIII книга о правильних многогранниках.

Сочинение Гиппократа восходит к недошедшему до нас математическому сочинению Демокрита. Явно демокритовский характер носит I определение "Начал" - "Точка - то, что не имеет частей".