Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра - Борис Розенфельд

Сочинение Гиппократа восходит к недошедшему до нас математическому сочинению Демокрита. Явно демокритовский характер носит I определение "Начал" - "Точка - то, что не имеет частей".

Однако в целом книга Евклида основана на математических принципах Аристотеля и содержит теорему о том, что любой отрезок может быть разделен пополам. По-видимому, восходит к принципу Аристотеля и V постулат Евклида.

"Оптика" Евклида была основана на представлении о зрительных лучах, выходящих из глаза и "ощупывающих" видимые предметы. Само слово "оптика" происходит от греческого слова opsis - "зрительный луч". Сравнивая "Оптику" и "Начала" Евклида я убедился, что "Оптика" основана не на учении Аристотеля, а на учении Демокрита.

Архимед

Величайшим ученым древности являлся Архимед (ок. 290-212 до н.э.) он был и математиком и механиком и физиком и инженером. Я рассматривал многие сочинения Архимеда. Если Евклид для круглых фигур и тел определял только отношения их площадей и объемов, Архимед нашел площадь круга, объем шара и объемы других круглых тел. Архимед также определил площадь сегмента параболы и решил ряд других задач, которые в настоящее время решаются с помощью интегрального и дифференциального исчислений. Я рассмотрел в книге Архимеда "Леммы" задачу об арбелоне, т.е. фигуре, полученной из полукруга с диаметром a+b удалением из него двух полукругов с диаметрами a и b, которые являются отрезками диаметра большего полукруга. Архимед нашел, что площадь арбелона равна площади круга, диаметром которого является перпендикуляр восставленный к диаметру большего полукруга в точке касания малых полукругов. Я доказал, что эта задача равносильна теореме геометрической алгебры о разбиении квадрата со стороной a+b на два квадрата с площадями a2 и b2 и два прямоугольника с площадями ab, так как площади полукругов равны, соответственно, n(a+b)2/8, na2/8 и nb2/8, a площадь круга равного арбелону равна nab/4. Во время осады римлянами Сиракуз, где жил Архимед, он был душей обороны города и его технические ухищрения наводили ужас на римлян. В частности, Архимед сжигал корабли римлян, выстраивая солдат с медными щитами таким образом, что их щиты образовывали часть поверхностьи параболоида вращения, ось которого была направлена на Солнце, а фокус был в том месте, где находился римский корабль. Недавно греческий инженер Иоаннис Сакас воспроизвел сожжение корабля по методу Архимеда. Сожжение римских кораблей показывает, что Архимеду были известны фокальные свойства параболы и параболоида вращения. На могиле Архимеда в Сиракузах был поставлен камень, на котором выгравировано изображение цилиндра с вписанными в него конусом и шаром. Этот чертеж относится к одному из самых замечательных математических достижений Архимеда - выводу формулы объема шара. В своем послании к Эратосфену Архимед рассматривал прямой круговой цилиндр, высота которого равна радиусу его основания. Обозначим диаметр шара буквой D. В цилиндр вписаны прямой круговой конус, основание которого совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина - с центром А его верхнего основания, и шар, полюсы которого совпадают с центрами А и В верхнего и нижнего оснований цилиндра. Сечения этих трех тел плоскостью параллельной основаниям цилиндра на расстоянии х от точки А равны, соответственно, nD2, nx2 и nx(D-x). Архимед рассматривал эти сечения как материальные пластинки, веса которых равны их площадям. Он заметил, что если перенести сечения конуса и шара в точку С оси цилиндра, находящуюся на расстоянии D выше точки А, а сечение цилиндра оставить на месте и рассматривать линию САВ как рычаг с точкой опоры А, то моменты сечений цилиндра, конуса и шара будут равны, соответственно, nD2x, nDx2 и nD2x-nDx2. Поэтому перенесенные сечения конуса и шара будут уравновешивать сечение цилиндра. Архимед считал, что если равновесие имеет место для весов отдельных сечений, оно будет иметь место и для сумм этих весов. Суммой весов сечений тела Архимед считал вес всего этого тела, т.е. его объем. Если мы обозначим объемы цилиндра, конуса и шара, соответственно, Vц, Vk, и Vш, то сумма моментов перенесенных сечений равна VкD+VшD, a сумма моментов сечений цилиндра равна произведению его объема на расстояние от точки А до его центра тяжести, т.е. VuD/2. Taк как V,<=V4/3, мы получаем, что v^vu/2-v4/3=vu/6 или, так как Vц=nD3, Vш=nD3/6. Если обозначить D =2R, мы можем переписать последнюю формулу в виде Vш = (4/3)nR3. Рассуждения Архимеда напоминают рассуждения Демокрита, но сечения тел у Архимеда не имеют конечной толщины, как у Демокрита, и между ними нет конечных расстояний, как у Пифагора. Поэтому у Архимеда сечения, из которых состоят тела больше похожи не на атомы античных атомистов, а на элементы множеств современной теоретико-множественной математики.

Аполлоний

Самым блестящим математиком античности был Аполлоний Пергский (ок. 250 - ок.175 до н.э.). Я изучал его труды еще в Москве при подготовке "Хрестоматии по истории математики" и позже, когда я рассматривал происхождение стереографической проекции и инверсии относительно конических сечений. Более интенсивно я стал изучать труды Аполлония в Стейт Колледже всвязи с руководством мастерской и докторской диссертациями моей аспирантки Д.Родс.

Я упоминал, что предки Аполлония были жрецами бога Аполлона, и потомками жрецов хеттского бога Апулунаша, святилище которого находилось в Перге.

С культом Аполлона связано появление конических сечений: греки считали, что Аполлон родился на острове Делас. Однажды, согласно легенде на этом острове разразилась эпидемия чумы, и его жители, обратились к жрецам бога Аполлона, считавшегосяся покровителем медицины, с просьбой помочь им. Жрецы сказали, что надо удвоить кубический алтарь в святилище Аполлона. Делийцы изготовили второй кубический алтарв и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. Тогда жрецы сказали, что удвоенный алтарь также должен иметь форму куба, т.е. ребро х нового куба должно быть связано с ребром а первоначального куба соотношением х3=2а3. Эту задачу решил в IV в. до н.э. греческий математик Менехм с помощью пересечения двух парабол y2=2аx и x2=аy, где величена х равна абсциссе точки пересечения этих парабол.Менехм определял параболу как сечение поверхности прямого кругового конуса с прямым углом при вершине плоскостью перпендикулярной одной из прямолинейных образующих конуса и называл параболу "сечением прямоугольного конуса". Менехму приписывают также открытие других конических сечений гиперболы и эллипса - "сечение тупоугольного конуса" и "сечение остроугольного конуса".

Коническим сечениям были посвящены не дошедшие до нас сочинение Аристея "О телесных геометрических местах" и "Начала конических сечений" Евклида, а таже несколько сочинений Архимеда. Архимед определил также "сфероиды" - эллипсоиды вращения, "тупоугольный коноид"- одну полость двуполостного гиперболоида вращения и "прямоугольный коноид" - параболоид вращения.