Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир - Файер Майкл

Теперь нам надо рассмотреть, что произойдёт в случае очень большого числа взаимодействующих атомов натрия. Возьмём стержень длиной 10 см и диаметром 1 мм, состоящий из натрия (см. рис. 19.1). При таких размерах число атомов Na, которые будет содержать стержень, составит N=2∙1021 (два миллиарда триллионов) атомов Na. Два миллиарда триллионов атомных 3s-орбиталей объединяются в два миллиарда триллионов молекулярных орбиталей. Как и в случае МО бензола и нафталина, МО натриевого стержня следует считать распространяющимися на всю систему, то есть на весь кусок металла.

Кусок металла содержит огромное количество энергетических уровней МО, называемое зоной

На рис. 19.3 показаны энергетические уровни этой системы. Каждый из N атомов натрия обладает электроном на атомной 3s-орбитали. В отсутствие взаимодействия между атомами все эти атомные орбитали имеют одинаковую энергию. На рисунке это изображено группой близко расположенных линий с левой стороны. Чтобы показать наличие большого числа атомных уровней, линии нарисованы по отдельности, но все они обладают одинаковой энергией. Когда атомы взаимодействуют, N атомных орбиталей образуют N МО. Как мы уже видели ранее на примере молекул, МО имеют разные энергии. У некоторых из этих МО энергия ниже, чем у атомных орбиталей, у других — выше. Это изображено в правой части рисунка более широким набором по-прежнему тесно расположенных линий. Система энергетических уровней МО на рис. 19.3 такая же, как на рис. 18.8, 18.9 и 19.2, с той лишь разницей, что имеется намного больше энергетических уровней, интервалы между которыми намного меньше. В этом случае говорят о зоне состояний.

Квантовая теория говорит, что ширина зоны состояний, то есть разность энергии между МО с наибольшей и наименьшей энергией, всего в несколько раз больше, чем разность в энергии двух МО, возникающих при взаимодействии двух атомов натрия (см. рис. 19.2, вверху). Таким образом, в нашем примере с двумя миллиардами триллионов атомов Na в относительно узком диапазоне энергий имеется два миллиарда триллионов энергетических уровней. В результате эти уровни оказываются расположенными так близко, что энергия внутри зоны меняется фактически непрерывно.

Рис. 19.3. В куске металлического натрия имеется N атомов. У каждого атома есть электрон на 3s-орбитали. Все вместе они представлены тесно расположенными линиями в левой части рисунка. Все они обладают одинаковой энергией. N атомных 3s-орбиталей взаимодействуют, образуя N молекулярных орбиталей, энергетические уровни которых показаны справа. Энергетические уровни МО настолько близки друг к другу, что их энергии образуют практически непрерывную зону состояний. Уровень Ферми соответствует самой высокой заполненной орбитали

Расселение электронов

Итак, есть N атомов натрия, каждый с одним 3s-электроном. Нам требуется поместить эти N электронов на соответствующие МО, как мы это делали с небольшими молекулами в главах 12 и 13 и как показано на рис. 18.8 и 18.9. Делокализованные МО металлического натрия подобны любым другим орбиталям, а значит, они подчиняются трём правилам расселения электронов, которые обсуждались в главе 11: сначала заселяются уровни с наименьшей энергией; на одной орбитали может находиться не более двух электронов, причём они должны иметь спаренные спины (принцип запрета Паули); по возможности спины не спариваются (правило Хунда).

На рис. 19.3 показано расселение электронов. Первый электрон занимает самый нижний энергетический уровень. Следующий электрон заселяется на тот же уровень с противоположным спином, то есть на нём будет одна стрелка вверх и одна стрелка вниз. Три электрона не могут располагаться на низшем энергетическом уровне, поскольку это нарушило бы принцип Паули. Поэтому третий электрон заселяется на уровень, который на один выше самого нижнего. Четвёртый электрон размещается на том же уровне со спаренным спином. Так продолжается до тех пор, пока по молекулярным орбиталям не будут размещены все N электронов.

Уровень Ферми

Имеется N энергетических уровней МО и N электронов. Однако на каждом уровне может находиться два электрона, поэтому заполнена будет только нижняя половина зоны энергетических уровней. Это похоже на бензол (см. рис. 18.8) и нафталин (см. рис. 18.9), у которых тоже заполнена только нижняя половина МО. Энергия самой высокой из заполненных орбиталей называется уровнем Ферми — в честь Энрико Ферми (1901–1954). Ферми как физик работал во многих областях науки, включая теорию твёрдого тела, в частности металлов, и теорию ядерных реакций. Он внёс значительный вклад в развитие ядерной энергетики. В 1938 году он получил Нобелевскую премию по физике

«за доказательство существования новых радиоактивных элементов, полученных при облучении нейтронами, и связанное с этим открытие ядерных реакций, вызываемых медленными нейтронами».

Как мы увидим, уровень Ферми чрезвычайно важен.

Уровень Ферми — это наивысшая заполненная МО при абсолютном нуле температуры, то есть при температуре 0 K, где K означает кельвины. 1 K равен 1 °C, однако нуль шкалы Кельвина соответствует абсолютному нулю температур, то есть 0 K — это −273 °C. Мы кратко обсуждали, как тепло в системах молекул, таких как вода, вызывает дрожание молекул. В главе 15 отмечалось, что тепловые движения молекул воды ответственны за разрушение водородных связей между ними. По мере понижения температуры тепла (тепловой энергии) становится всё меньше, и движение атомов и молекул замедляется. Абсолютный нуль (0 K) — это температура, при которой вообще нет тепла, заставляющего атомы и молекулы двигаться. Уровень Ферми определяется именно как энергия наивысшей заполненной МО при 0 K.

Как электроны движутся сквозь металл

Как показано на рис. 19.1, электроны входят в металлический стержень с одной стороны и покидают его с другой. Это возможно, поскольку электроны находятся на делокализованных МО, растянутых на весь кусок металла. Однако квантовая теория показывает, что если все электроны занимают только МО ниже уровня Ферми, то они не будут двигаться в каком-либо определённом направлении. В реальности металлы трёхмерны, но в данном обсуждении мы будем рассматривать только одно измерение за раз. В нашем металлическом стержне даже тогда, когда он не присоединён к батарее, электроны, находящиеся на МО, тем не менее постоянно движутся. Хотя электроны описываются в терминах квантовомеханических волновых функций, они обладают кинетической энергией. Поэтому можно подсчитать скорость электрона. Электроны на некоторых МО можно рассматривать как движущиеся вправо. Имеются соответствующие им МО с точно такой же энергией, но с электронами, движущимися влево. Когда все МО заполнены, как показано на рис. 19.3, электрического тока не будет, поскольку одинаковое число электронов движется влево и вправо. В трёхмерном случае для любого выбранного направления у электрона будет равная вероятность двигаться в этом направлении или в диаметрально противоположном.

Однако когда металлический стержень на рис. 19.1 присоединяется к батарее, всё меняется. Один конец стержня соединён с положительным полюсом батареи, а другой — с отрицательным. Подключение к батарее меняет условия существования электронов. Без батареи электроны ощущают положительные заряды атомов натрия и отрицательные заряды других электронов. Любой отдельный электрон в середине стержня не чувствует разницы между правым и левым. Однако при подключении к батарее появляется дополнительный действующий фактор — созданное ею внутри металла электрическое поле. Электроны притягиваются к положительному концу и отталкиваются от отрицательного конца. В результате система меняется, поскольку некоторые электроны оказываются на уровнях выше уровня Ферми, который был без батареи (см. рис. 19.4). Состояние электронов в системе меняется так, что становится больше электронов, движущихся к положительному концу металлического стержня, чем движущихся к отрицательному.