Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн - Тибо Дамур

72

На самом деле математический термин «тензор» (англ. tensor) изначально возник как физический объект, используемый для описания «напряжений» (англ. tensions) в сплошной среде.

73

Можно показать, что «тензор деформации» математически строится из различных пространственных производных «вектора» смещения желе. В свою очередь, вектор смещения представляет собой набор маленьких стрелок, соединяющих начальные невозмущенные положения материальных точек в желе с их конечными возмущенными положениями.

74

Оказывается, что для однородной и изотропной среды объект κ лишь немного сложнее, чем простой численный коэффициент пропорциональности. Он состоит из двух численных коэффициентов, называемых коэффициентами упругости Ламе.

75

Компоненты gµν принимают значение +1, когда индексы µ и ν равны друг другу и соответствуют квадрату разности пространственных координат, т. е. когда µ = ν = 1, или 2, или 3. Если использовать в качестве временной координаты x0 = ct, то компонента g00, отвечающая квадрату временной разности, принимает значение −1 (если же в качестве временной координаты использовать непосредственно t, то gtt = −c²). Наконец, остальные шесть компонент, отвечающие двойным произведениям, т. е. компоненты gµν, в которых µ отличен от ν, будут равны нулю.

76

Обычно этот тензор обозначается Tµν, где индексы µ и ν соответствуют используемым координатам xµ с µ = 0, 1, 2, 3. Компонента, соответствующая «квадрату времени», т. е. T00, измеряет плотность массы-энергии, в то время как чисто пространственные компоненты Tij с индексами i и j, принимающими значения 1, 2, 3, в точности соответствуют тензору напряжений упругой среды.

77

Однако еще до появления окончательной формулировки теории гравитации он, находясь в Праге, предсказал величину отклонения света, в два раза меньшую конечного результата. Иными словами, он получил 0,875 угловой секунды (значение, которое давала ньютоновская теория тяготения, если учесть, что свет состоит из корпускул) вместо 1,75 угловой секунды, которое будет определено в ноябре 1915 г.

78

Отметим, что Эйнштейн никогда не использовал выражение «закон упругости пространства-времени», введенное в этой книге. Тем не менее мы считаем, что использование этого образа не искажает, а скорее, проясняет центральную идею его теории.

79

Речь идет о «тензоре Риччи».

80

Ханнес Альфвен «Космология: Миф или Наука?» в сборнике «Эйнштейн, книга столетия» под ред. A. Френча (Hannes Alfven, Cosmology: Myth or Science?, dans Einstein, Le Livre du Centenaire (édité sous la direction de A. P. French, version française réalisée par G. Delacôte et J. Souchon-Royer), Paris, Hier et Demain (1979), p. 83). Цитируется Мишелем Бьезунским в книге «Эйнштейн в Париже» (Cité par Michel Biezunski, Einstein à Paris, op. cit.).

81

Приливной тензор, называемый также градиентом силы тяжести, является математическим объектом, который определяется взятием двух последовательных пространственных производных ньютоновского гравитационного потенциала. Тензор R является более сложным объектом, получаемым из g, вида R (g) = g−1d d g + g−1g−1d g d g, где g обозначает 10 компонент метрического тензора gµν, g−1 = gµν, обратная матрица к gµν, и d – пространственно-временной градиент, т. е. частная производная по отношению к четырем пространственно-временным координатам xµ. Математический объект, используемый Эйнштейном и обозначаемый как D (g) в тексте, имеет точно такую же структуру, как и R (g), т. е. он содержит (линейно) вторые производные g и обладает квадратичной нелинейностью по первым производным g.

82

Для тех, кого не пугают явные уравнения, уточним, что тензор Римана имеет четыре независимых индекса, R = Rαβμv, и что последовательным суммированием по определенным индексам из него получается тензор Риччи Rµν = Rαμαv, а затем тензор Эйнштейна Dµν = Rµν − (1/2) R gµν, где R = gµνRµν. Таким образом, уравнения Эйнштейна имеют окончательный вид Dµν = Rµν − (1/2) Rgµν = κTµν, где Tµν – тензор энергии-импульса. Стандартного обозначения для тензора Эйнштейна (обозначаемого здесь как Dµν) не существует. Наиболее часто используются обозначения Gµν, Sµν или Eµν.

83

Левая сторона уравнения D’ = κT, предложенного 11 ноября, не давала окончательно правильный результат, поскольку D’ есть тензор Риччи, а не тензор Эйнштейна, отличающийся от тензора Риччи дополнительным членом −(1/2)R g. Эйнштейн напишет D в окончательном виде 25 ноября. В течение длительного времени считалось (и некоторые авторы книг, посвященных Эйнштейну, до сих пор продолжают так думать), что математик Гильберт понял 20 ноября, т. е. за пять дней до заключительной статьи Эйнштейна, необходимость дополнительного члена −(1/2)R g в уравнении, написанном 11 ноября Эйнштейном. Однако найденный недавно оригинал исправленных доказательств Гильберта показывает, что Гильберт глубоко изменил ход доказательств исходной версии своей статьи после прочтения окончательного результата Эйнштейна 25 ноября.

84

В обычном пространстве более прямые линии являются также более короткими. Но в пространстве-времени из-за знака минус, связанного с временным направлением, более прямые линии (в направлении «времени») оказываются более длинными.

85

Применяя формулировку, которую Эйнштейн использует в отношении новой идеи Луи де Бройля несколько лет спустя.

86

Заметим, кстати, что уже в июне 1905 г. Пуанкаре осознал, что вся «релятивистская» теория подразумевает распространение гравитации со скоростью света (это распространение он называл «гравитационными волнами»). Он также предсказал, что эти гравитационные волны должны вытягивать энергию из источника. В 1908 г. он предложил явление, связанное с этой потерей энергии, которое можно было наблюдать экспериментально: «ускорение» орбитального вращения планетарных систем. Примечательно, что именно благодаря этому эффекту (зафиксированному в двойном пульсаре PSR 1913 + 16 в 1980-х гг.) была подтверждена реальность существования гравитационных волн. Заметим между тем, что рассуждения Пуанкаре (связанные с более ранними идеями Лапласа и Лоренца) имели чисто качественный характер. В отличие от Эйнштейна, Пуанкаре никогда не предлагал специальной релятивистской теории гравитации. Ему не хватало необходимых инструментов, которыми для Эйнштейна послужили принцип эквивалентности и принцип общей относительности.

87

Поправка, полученная Лоренцом (из «преобразований Лоренца») и Дж. Дростом. Эквивалентный результат был позже получен другим методом (в 1938 г.) Эйнштейном, Л. Инфельдом и Б. Гофманом. Впоследствии этот метод оказался полезным при описании движения нейтронных звезд и черных дыр.

88

В работе Т. Дамура, подводящей итог серии предшествующих работ в сотрудничестве с Н. Дрюелем, а также с Л. Белем и Дж. Мартаном.

89

Георгий Гамов. Мистер Томпкинс исследует атом. Глава 3 (переиздание). – М.: УРСС, 2003.

90

Благодаря новым технологиям эти датчики должны обладать достаточной чувствительностью для обнаружения гравитационных волн уже в 2015 г.

91

Мы пренебрегаем здесь тем фактом, что волна деформации совершает колебания с относительно высокой частотой (порядка 100 Гц для источников, которые ищут LIGO и VIRGO).