Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

Глава 9

О человеческом разуме, математике и Вселенной

Два вопроса – (1) «Существует ли математика независимо от человеческого разума?» и (2) «Почему математические понятия применимы отнюдь не только в том контексте, в каком их первоначально разрабатывают?» – тесно взаимосвязаны. Тем не менее я постараюсь разобрать их не одновременно, а последовательно, чтобы не усложнять дискуссию.

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, чем считают математику современные математики – изобретением или открытием. Вот как описали положение дел математики Филип Дэвис и Реубен Херш в своей чудесной книге «Математический опыт» («The Mathematical Experience», Davis and Hersh 1981).

Большинство авторов, пишущих на эту тему, похоже, согласны, что типичный профессиональный математик – платоник [считает математику открытием] по будням и формалист [считает ее изобретением] по воскресеньям. То есть когда он занимается математикой, то убежден, что имеет дело с объективной реальностью, чьи свойства пытается определить. Но все же, когда ему приходится оценивать эту реальность с философской точки зрения, ему оказывается проще всего притвориться, будто он в нее на самом деле не верит.

Честно говоря, у меня складывается впечатление, что это можно сказать и в наши дни про многих математиков и физиков-теоретиков – изменились разве что требования политкорректности, связанные с демографическим составом математиков, и теперь у меня возникает искушение написать везде не «он», а «он или она». Однако же некоторые математики ХХ века в действительности занимали вполне определенную позицию – ту или иную. Скажем, Г. Г. Харди в своей «Апологии математика» (Hardy 1940) отстаивает чисто платоническую точку зрения.

Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть «математической реальностью», и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует «в умах» и что мы, в некотором смысле, конструируем ее. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в свое описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики. Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать ее, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши «творения», по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения.

Прямо противоположную точку зрения отстаивают математики Эдвард Каснер (1878–1955) и Джеймс Ньюмен (1907–1966) в своей книге «Математика и воображение» («Mathematics and the Imagination», Kasner and Newman 1989).

То, что математика занимает высокое положение, несравнимое с положением любой другой области целенаправленного мышления, неудивительно. Она обеспечила столько достижений естественных наук, она стала столь незаменимой в делах практических и столь легко превращается в шедевр чистой абстракции, что лишь естественно признать ее главенство среди прочих интеллектуальных достижений человека.

Несмотря на это главенство, предлог для первой значительной оценки математики представился лишь недавно – с появлением неевклидовой и четырехмерной геометрии. Мы вовсе не стремимся принизить достижения математического анализа, теории вероятности, арифметики бесконечных величин, топологии и прочих дисциплин, о которых мы говорили. Каждая из них расширила пределы математики и углубила как ее смысл, так и наше понимание физической Вселенной. Однако ни одна из них не способствовала математическому самоанализу, познанию того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом более, чем неевклидова ересь.

Эта ересь была полна критического боевого духа, и благодаря этому мы преодолели представление о том, что математические истины будто бы существуют независимо, отдельно от нашего разума. Нам даже странно, что такое представление вообще бытовало. А все же именно так и думал Пифагор, а также Декарт и сотни прочих великих математиков до XIX века. Сегодня математика избавилась от оков, сбросила кандалы. Какова бы ни была ее сущность, мы понимаем, что она свободна, как разум, и ловка, как воображение. Неевклидова геометрия – это доказательство, что математика, в отличие от музыки сфер, творение самого человека и подчиняется лишь тем ограничениям, какие накладывают на нее законы мышления.

Математическим утверждениям как таковым присущи точность и окончательность – однако здесь картина совсем иная: перед нами разнообразие противоположных мнений, типичное скорее для философских диспутов или политических дебатов. Стоит ли нам удивляться? Вообще-то нет. Вопрос о том, изобретена математика или открыта, – отнюдь не вопрос самой математики.

Идея «открытия» предполагает какое-то прежнее существование в некой Вселенной, или реальной, или метафизической. Понятие «изобретения» задействует человеческий разум, либо индивидуальный, либо коллективный. Поэтому вопрос обращен к целой совокупности дисциплин, в которую входят и физика, и философия, и математика, и психология познания, и антропология – и он совершенно точно не ограничивается одной лишь математикой, по крайней мере, не прямо. А поэтому не исключено, что математика даже не обладает самым подходящим инструментарием для ответа на этот вопрос. Ведь, к примеру, поэты, способные творить словами настоящие чудеса, не обязательно лучшие лингвисты, а величайшие философы обычно не специалисты по нейрофизиологии. Поэтому ответ на вопрос «открыта или изобретена» можно получить (да и то не обязательно) лишь в результате дотошного исследования множества различных данных, полученных в самых разных сферах.

Метафизика, физика, психология познания

Те, кто считает, что математика существует во Вселенной, не зависимой от людей, также распадаются на два враждующих лагеря, поскольку по-разному понимают природу этой Вселенной[155]. Во-первых, есть «истинные» платоники, для которых математика существует в абстрактном вечном мире математических форм. Далее, есть и те, кто считает, что математические структуры – это на самом деле подлинная часть мира природы. Поскольку я уже довольно подробно писал о чистом платонизме и некоторых его философских недостатках, остановимся на второй точке зрения[156].

Пожалуй, крайнюю и самую спекулятивную версию «математики как части физического мира» поддерживает мой коллега-астрофизик Макс Тегмарк из Массачусетского технологического института.

Тегмарк полагает, что «наша Вселенная не просто описывается математикой, она и есть математика (курсив мой. – М. Л.)» (Tegmark 2007 a, b). Свою аргументацию он начинает с утверждения, что существует внешняя физическая реальность, которая не зависит от человека. С этим, пожалуй, не поспоришь. Далее он рассуждает о том, какой могла бы быть природа универсальной теории, описывающей подобную реальность (физики называют ее «теорией всего»). Поскольку физический мир никак не зависит от людей, полагает Тегмарк, его описание должно быть свободно от любой человеческой «нагрузки» (в особенности – от человеческого языка). То есть окончательная теория не может включать в себя понятий вроде «субатомных частиц», «вибрирующих струн», «искривлений пространства-времени» и прочих конструкций, созданных человеческим разумом. На основании этого соображения Тегмарк делает вывод, что единственно возможное описание космоса предполагает исключительно абстрактные понятия и соотношения между ними, а это, как он полагает, и есть рабочее определение математики.

Аргументация Тегмарка в пользу математической реальности, безусловно, очень интересна, и если бы она оказалась верной, это был бы существенный шаг в сторону ответа на вопрос о «непостижимой эффективности» математики. Во Вселенной, которая тождественна математике, едва ли стоит удивляться, что математика идеально соответствует природе. К сожалению, мне не кажется, что доказательства Тегмарка убедительны. Переход от существования внешней реальности, независимой от человека, к выводу, что, по словам Тегмарка, «нужно поверить в так называемую гипотезу математической Вселенной – в то, что наша физическая реальность представляет собой математическую структуру», требует, как мне представляется, некоторой подтасовки. Когда Тегмарк пытается охарактеризовать математику как таковую, то говорит: «Для современного логика математическая структура в этом и заключается – она представляет собой набор абстрактных сущностей, между которыми есть какие-то отношения». Но ведь этот современный логик – человек! Иначе говоря, Тегмарк на самом деле вовсе не доказывает, что наша математика не изобретена людьми, он это попросту предполагает. Более того, французский нейробиолог Жан-Пьер Шанже в ответ на подобное утверждение указал (Changeux and Connes 1995): «Утверждать, будто математические объекты обладают физической реальностью – на том же уровне, что и природные явления, которые мы изучаем в биологии – приводит, по-моему, к досадной эпистемологической проблеме. Как физическое состояние, имеющее место внутри нашего мозга, может отражать другое физическое состояние, внешнее по отношению к нему?»