Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

Кроме того, общую теорию относительности удалось проверить с поразительной точностью. Проделать эти измерения было совсем не просто, поскольку относительные величины искривлений пространства-времени, вызванных объектами вроде Солнца, измеряются десятитысячными долями процента. Первоначально измерения ограничивались наблюдениями в пределах Солнечной системы (например, крошечными отклонениями орбиты Меркурия от расчетов, выполненных согласно законам Ньютона), однако в последнее время стали возможны и более экзотические проверки. Среди лучших экспериментальных доказательств – данные наблюдений над астрономическим объектом под названием двойной пульсар.

Пульсар – это необычайно компактная звезда, излучающая в радиодиапазоне, масса которой несколько больше массы Солнца, а радиус – всего около 10 километров. Плотность такой звезды – ее еще называют нейтронной звездой – так высока, что несколько кубических сантиметров ее вещества обладают массой в миллиард тонн. Многие такие нейтронные звезды очень быстро вращаются и при этом излучают радиоволны из магнитных полюсов. Если магнитная ось пульсара несколько наклонена относительно оси вращения, как на рис. 61, радиолуч с одного или другого полюса пересекает наш луч зрения лишь один раз за оборот, словно луч маяка. В таком случае радиоизлучение будет словно бы пульсировать, отсюда и название. Иногда случается, что два пульсара вращаются вокруг общего центра тяжести по тесным орбитам, образуя систему двойного пульсара.

Двойной пульсар служит превосходной лабораторной установкой для проверки общей теории относительности по двум причинам: (1) радиопульсары – это отменные часы, поскольку частота вращения у них настолько стабильна, что они даже точнее атомных часов, и (2) пульсары так компактны, что их гравитационные поля очень сильны, что приводит к значительным релятивистским эффектам. Эти особенности позволяют астрономам очень точно измерять изменения промежутка времени, которое требуется свету, чтобы добраться до Земли, вызванные орбитальным вращением двух пульсаров в гравитационном поле друг друга.

Рис. 61

Недавняя проверка общей теории относительности была основана на измерениях кривой блеска двойного радиопульсара PSR J0737–3039A/B (этот «длинный телефонный номер» указывает небесные координаты объекта), продолжавшихся в течение двух с половиной лет. Два пульсара в этой системе совершают оборот по орбите всего за два часа двадцать семь минут, а система находится на расстоянии около двух тысяч световых лет от Земли (световой год – это расстояние, которое проходит за год свет в вакууме, около 9,5 триллионов километров). Группа астрономов во главе с Майклом Крамером из Манчестерского университета измерила релятивистские отклонения этих пульсаров от ньютоновского закона движения. В октябре 2006 года были опубликованы результаты (Kramer et al. 2006), которые соответствовали предсказаниям общей теории относительности с погрешностью всего в 0,05 %!

Кстати, и специальная, и общая теории относительности играют важную роль в той самой системе GPS (Global Positioning System), которая помогает нам определять свое местоположение на Земле и прокладывать путь из одной точки в другую на машине, на самолете или пешком. GPS определяет текущее положение приемника, измеряя время, за которое до него доходит сигнал с нескольких спутников, и проводя тригонометрические расчеты на основании известного положения каждого спутника. Специальная теория относительности предсказывает, что атомные часы на борту спутников идут медленнее (с отставанием на несколько миллионных секунды в сутки), чем на Земле, из-за их относительного движения. При этом общая теория относительности предсказывает, что часы на спутниках идут быстрее (на несколько стотысячных секунды в сутки), чем часы на Земле, из-за того что высоко над земной поверхностью искривление пространства-времени, вызванное массой Земли, становится меньше. Без этих поправок ошибки в определении местоположения на земном шаре накапливались бы со скоростью около десяти километров в день.

Теория гравитации – лишь один из множества примеров, показывающих, как замечательно и с какой поразительной точностью математические формулы описывают законы природы. В этом случае, как и во многих других, мы получаем из уравнений гораздо больше, чем в них вложили. Как теперь доказано, точность обеих теорий – и Ньютона, и Эйнштейна, – значительно превосходит точность наблюдений, ради объяснения которых эти теории были задуманы.

Возможно, лучший пример того, какой потрясающей точности способна достичь математическая теория, – это квантовая электродинамика, теория, описывающая все явления с участием электрически заряженных частиц и света. В 2006 году группа физиков из Гарвардского университета определила магнитный момент электрона (меру взаимодействия электрона с магнитным полем) с точностью до восьми триллионных (Odom et al. 2006). Само по себе это потрясающее достижение экспериментальной физики. Но если принять во внимание еще и то, что новейшие теоретические расчеты, основанные на квантовой электродинамике, дают такую же точность и эти два результата полностью соответствуют друг другу, становится ясно, что точность просто неимоверна. Услышав о таких успехах, один из основателей квантовой электродинамики физик Фримен Дайсон заметил: «Просто поразительно, как точно Природа отплясывает под мотивчик, который был так небрежно сочинен пятьдесят семь лет назад, и как экспериментаторы и теоретики измеряют и рассчитывают этот ее танец с точностью до триллионных долей».

Однако точность – не единственный повод славить математические теории. Есть еще и предсказательная сила. Приведу всего два простых примера – один из XIX века, другой из ХХ. Первая теория предсказала новое явление, вторая – существование нескольких элементарных частиц.

Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электромагнетизма, в 1864 году предсказал, что, согласно его теории, переменные электрические или магнитные поля должны генерировать распространяющиеся волны. Эти волны – знакомые всем нам электромагнитные волны, в частности радиоволны, – первым обнаружил немецкий физик Генрих Герц (1857–1894) в результате серии опытов, которые он провел в конце 80-х годов XIX века.

В конце 60-х годов XX века физики Стивен Вайнберг, Шелдон Глэшоу и Абдус Салам разработали теорию, которая объединяет электромагнитное и слабое взаимодействия между элементарными частицами[154]. Теперь эта теория известна под названием теории электрослабого взаимодействия. Она предсказала существование трех частиц (W+-, W— и Z-бозонов), которые раньше никто не наблюдал. В 1983 году существование этих частиц было однозначно подтверждено в ходе экспериментов на ускорителе (где элементарные частицы сталкивают друг с другом при очень высоких энергиях), которые проделали физики Карло Руббиа и Симон ван дер Мер.

Физик Юджин Вигнер, тот самый, который ввел в обращение фразу «непостижимая эффективность математики», предложил называть все эти неожиданные достижения математических теорий «эмпирическим законом эпистемологии» (эпистемология – дисциплина, изучающая происхождение и пределы знаний). Если бы этот «закон» был неверен, резонно утверждает он, ученым «не хватило бы мужества и уверенности», без которых «нельзя было бы успешно исследовать законы природы». Однако Вигнер не предлагал никаких объяснений эмпирическому закону эпистемологии. Для него это был некий «чудесный дар», за который мы должны быть благодарны, хотя и не представляем себе его происхождение. В сущности, для Вигнера этот «дар» и составлял суть вопроса о непостижимой эффективности математики.

Думаю, мы собрали уже достаточно данных, чтобы хотя бы попытаться ответить на вопросы, которыми задались в самом начале. Почему математика так эффективна, почему она настолько прекрасно объясняет происходящее в мире вокруг нас, что даже позволяет добывать новые знания? И открываем мы ее или изобретаем, в конце концов?

Глава 9

О человеческом разуме, математике и Вселенной

Два вопроса – (1) «Существует ли математика независимо от человеческого разума?» и (2) «Почему математические понятия применимы отнюдь не только в том контексте, в каком их первоначально разрабатывают?» – тесно взаимосвязаны. Тем не менее я постараюсь разобрать их не одновременно, а последовательно, чтобы не усложнять дискуссию.

Прежде всего, вы вправе поинтересоваться, чем считают математику современные математики – изобретением или открытием. Вот как описали положение дел математики Филип Дэвис и Реубен Херш в своей чудесной книге «Математический опыт» («The Mathematical Experience», Davis and Hersh 1981).

Большинство авторов, пишущих на эту тему, похоже, согласны, что типичный профессиональный математик – платоник [считает математику открытием] по будням и формалист [считает ее изобретением] по воскресеньям. То есть когда он занимается математикой, то убежден, что имеет дело с объективной реальностью, чьи свойства пытается определить. Но все же, когда ему приходится оценивать эту реальность с философской точки зрения, ему оказывается проще всего притвориться, будто он в нее на самом деле не верит.