Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

Рис. 60

Изучая сложные топологические структуры подобного рода, специалисты по теории струн Хироси Оогури и Кумран Вафа обнаружили неожиданную связь между количеством таких пышек, сложными геометрическими свойствами узлов и многочленом Джонса (Ooguri and Vafa 2000). Но еще раньше Эдвард Виттен, один из главных игроков на поле теории струн, выявил соотношение между многочленом Джонса и самой основой теории струн – так называемой квантовой теорией поля (Witten 1989). Затем модель Виттена переосмыслил с точки зрения чистой математики Майкл Атья[152]. Так что теория струн и теория узлов живут в идеальном симбиозе. Теория струн, с одной стороны, получила много полезных результатов при помощи теории узлов, а с другой – и сама натолкнула на интересные открытия в этой области.

В гораздо более широком масштабе теория струн ищет объяснения самой сущности вещества – причем движется примерно в том же направлении, что и Томсон, когда придумывал модель атома. Томсон (ошибочно) полагал, что узлы могут дать ответ на вопрос о строении атомов. И вот по интересной прихоти судьбы специалисты по теории струн обнаружили, что узлы и в самом деле позволяют сделать некоторые выводы.

История теории струн – это великолепный пример нежданного могущества математики. Как я уже упоминал, даже «активная» сторона эффективности математики сама по себе, когда ученые генерируют математические теории, необходимые для описания наблюдаемых физических феноменов, иногда – если речь заходит о точности – приносит невероятные сюрпризы. Рассмотрим вкратце одну область физики, где важную роль играют обе стороны математики, и «активная», и «пассивная», – область, примечательную именно тем, какой поразительной точности удалось там добиться.

С аптечной точностью

Галилей и другие итальянские ученые-экспериментаторы вывели законы падения тел, а Ньютон взял эти законы в сочетании с законами движения планет, которые открыл Кеплер, и на основе объединенных данных сформулировал математический закон всемирного тяготения. При этом Ньютону пришлось разработать совершенно новую область математики – интегральное и дифференциальное исчисление, – которое позволило в полной мере воплотить все качества законов движения и тяготения. С учетом погрешности современных Ньютону экспериментов и наблюдений, он сумел проверить собственный закон всемирного тяготения лишь с точностью хуже, чем четыре процента. А впоследствии оказалось, что по точности этот закон превосходит все мыслимые ожидания. К концу 50-х годов ХХ века погрешность экспериментов составляла менее одной десятитысячной доли процента.

Но и это еще не все. Целый ряд недавних спекулятивных теорий, целью которых было объяснить, как так вышло, что наша Вселенная расширяется с ускорением, предположили, что законы гравитации на очень маленьких расстояниях могут вести себя необычно. Вспомним, что по закону всемирного тяготения Ньютона притяжение уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния. То есть если удвоить расстояние между двумя массами, то сила тяготения, действующая на каждую массу, ослабеет в четыре раза. Новые сценарии предсказывали отклонения от этого поведения на расстояниях меньше миллиметра. Эрик Адельбергер, Дэниел Капнер и их коллеги из Университета штата Вашингтон в Сиэтле провели серию остроумных экспериментов, чтобы проверить предсказанные такими сценариями отклонения в зависимости от расстояния (Kapner et al. 2007). Самые свежие результаты, обнародованные в январе 2007 года, показали, что закон обратных квадратов действует даже на расстоянии пятидесяти шести тысячных миллиметра! Выходит, математический закон, сформулированный более трехсот лет назад на основе весьма скудных наблюдательных данных, оказался не просто феноменально точным, но и действует на расстояниях, на которых до самого недавнего времени нельзя было даже проводить подобные измерения!

Остался один важный вопрос, который Ньютон вовсе оставил без ответа: как же действует гравитация? Каким образом Земля, находящаяся от Луны на расстоянии почти 400 000 километров, влияет на движение Луны?

Ньютон об этом недостатке своей теории прекрасно знал и открыто признавал в «Началах».

До сих пор я изъяснил небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая действует… повсюду на огромные расстояния, убывая пропорционально квадратам расстояний… Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю (пер. А. Крылова).

Решить эту задачу и восполнить пробел, оставленный Ньютоном, удалось Альберту Эйнштейну (1879–1955). В 1907 году у Эйнштейна появилась весьма серьезная причина интересоваться гравитацией – оказалось, что его специальная теория относительности прямо противоречит закону всемирного тяготения Ньютона[153].

Ньютон полагал, что гравитация действует мгновенно, что планеты сразу же чувствуют силу тяготения Солнца, а яблоко – притяжение Земли. С другой стороны, столпом специальной теории относительности Эйнштейна служит утверждение, что никакой предмет, энергия или информация не могут перемещаться быстрее света. Как же может гравитация действовать мгновенно? Как показывает нижеприведенный пример, последствия этого противоречия могли бы привести к полному краху наших самых фундаментальных представлений, в том числе представления о причинно-следственной связи.

Представьте себе, что Солнце внезапно исчезло. Земля, лишившись силы, которая удерживает ее на орбите, согласно Ньютону должна начать движение по прямой, не считая мелких отклонений, вызванных гравитацией прочих планет. Однако обитатели Земли будут видеть Солнце еще около восьми минут, поскольку именно столько нужно свету, чтобы преодолеть дистанцию от Солнца до Земли. Иначе говоря, движение Земли изменится раньше, чем исчезнет Солнце.

Чтобы разрешить это противоречие и одновременно найти подход к вопросу, на который не ответил Ньютон, Эйнштейн окунулся в поиски новой теории гравитации с жаром на грани одержимости. Задача была неподъемная. Любая новая теория должна была не только обладать всеми поразительными достоинствами ньютоновой, но и объяснять, как гравитация устроена и как она действует, причем так, чтобы это не противоречило специальной теории относительности.

После нескольких фальстартов и долгих блужданий по извилистым тропам, которые в конце концов заводили в тупик, Эйнштейн в 1915 году все же достиг своей цели. Многие считают, что его общая теория относительности – одна из самых красивых теорий в истории науки.

Основой потрясающего открытия Эйнштейна стала идея, что гравитация – всего лишь искажение ткани пространства-времени. По Эйнштейну, планеты, словно мячики для гольфа, чей путь определяется горками и впадинками на неровном поле, следуют по искривленным траекториям в искривленном пространстве, которое соответствует гравитации Солнца. Иначе говоря, в отсутствие вещества или других форм энергии пространство-время (единая ткань из трех пространственных измерений и одного временного) было бы плоским. Вещество и энергия искажают пространство-время точно так же, как тяжелый шар для боулинга заставляет батут провисать. В этой криволинейной геометрии планеты описывают самые что ни на есть прямые траектории, и это и есть проявления гравитации. Когда Эйнштейн решал задачу о том, как «устроена» гравитация, то заложил еще и основу для ответа на вопрос, с какой скоростью она распространяется. А вопрос о распространении сводится к определению, с какой скоростью может изменяться кривизна пространства-времени. Это примерно как подсчитывать скорость распространения ряби по воде. Эйнштейн сумел показать, что согласно общей теории относительности гравитация распространяется в точности со скоростью света – и это ликвидировало противоречия между ньютоновой теорией и специальной теорией относительности. Если Солнце исчезнет, орбита Земли начнет меняться восемь минут спустя, тогда же, когда мы пронаблюдаем исчезновение нашего светила.

То, что Эйнштейн сделал краеугольным камнем своей новой теории мироздания искривленное четырехмерное пространство-время, означало, что ему была срочно нужна математическая теория подобных геометрических сущностей. В полном отчаянии он писал своему бывшему соученику, математику Марселю Гроссману (1878–1936): «Математика, наиболее изящные области которой я раньше считал чистейшей роскошью, вызывает у меня величайшее уважение». Гроссман посоветовал Эйнштейну обратиться к неевклидовой геометрии Римана (о ней мы уже говорили в главе 6) – он считал, что именно этот инструмент, геометрия искривленных пространств с произвольным числом измерений, и необходим Эйнштейну. Вот он, ярчайший пример «пассивной» эффективности математики, которую Эйнштейн не замедлил признать: «В сущности, геометрию можно считать самой древней областью физики, – объяснил он. – Без нее я не смог бы сформулировать теорию относительности».