Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Эрик Белл

Доказав бессмертие души, Сократ быстро перешел к бессмертию добродетели. Нет необходимости следовать за ним. Все его (или Платона?) усилия по доказательству предположения такого рода фундаментально не отличаются от представленного. Для ума, жаждущего быть убежденным, наиболее убедительными из всех попыток Платона установить «объективную реальность мироздания» (таких, как истина, добродетель, любовь, человек, знания и т. д.) были те, что касались общеизвестных истин арифметики и геометрии. И значит, так оно и было, раз Сократ убедил Менона. Платон не был ни первым, ни последним, кто искал математическое постоянство среди ускользающих воспоминаний о событиях прошлого. Из века в век у думающих людей сохраняется потребность найти отдельные признаки постоянного убежища в вечно существующем потоке, который время от времени бросает их на скалы (или в болото) предполагаемо вечной математики.

Суть реализма Платона – мистическая доктрина об Идеях и Формах. По мнению ряда экспертов, записи Платона содержат как минимум две теории Идей. Математики, согласные с Харди, которого уже цитировали в первой главе, в том, что «математическая реальность лежит вне нас», не нуждаются в убеждении самих себя, которую из теорий Идей им стоит использовать для поддержания собственной уверенности. Одна, чтобы объединить все, предоставляет им изобилие взаимно подтверждающих аргументов. Нет необходимости беспокоить тех, кто интересуется вместе с Казнером, как человеческие создания когда-то додумались поверить в платоновскую реальность математики, школьными сомнениями о том, в которую из версий своей теории, если таковые имеются, в конечном счете верил сам Платон. Любой единичный аргумент из скопления всевозможных аргументов в состоянии показать, что подтолкнуло реалистически мыслящих математиков разглядеть «объективную реальность» математики. Выбрав один из самых простых, рассмотрим его по «Фаэдо» в части «реального» равенства.

Чувства никогда не указывают на точное равенство двух предметов, очищение путем измерений всегда показывает расхождения, не установленные простым наблюдением. Следуя этим путем, если чувственная очевидность что-то и говорит нам, то необходимо беспредельное количество очисток от примесей. Хотя действительно достоверное равенство находится за пределами чувств, разум не испытывает проблем в установлении равенства с абсолютной точностью. Если это «реальное» равенство никогда не достижимо для чувственного наблюдения, где оно и что оно собой представляет?

Логик-позитивист из школы экстремалов мог бы сказать, что этот вопрос лишен смысла. Экспериментатор будет настаивать, что любое предположение, например «длина этих двух палочек равна», имеет значение, только в случае, если предположение включает в себя средства его проверки. «Абсолютное равенство существует» в предположении, которое не выдержит этот тест. Это образец метафизических утверждений, что с научной точки зрения лишено всякого смысла. Такие утверждения не обязательно не важны. Многие из них ограничивают человеческое поведение, а некоторые начинали длительные и кровавые войны. Они просто не имеют значения для науки. Важны ли они для чистой математики? Математик-реалист не сомневается в данном вопросе. Для него абсолютное, идеальное равенство существует, но никогда полностью не проявляется.

Равенство как идея всегда одинаково. Будучи неизменным, оно остается единственно возможным объектом знания во всех данных вопросах. Поскольку, если измеренные длины двух металлических прутов, скажем, «равны» по длине, измеренной микрометром, но подвергнутся воздействию температуры, а сам микрометр начнут трясти совершенно непредсказуемым образом, кто может знать наверняка, что пруты равны по длине? И что это значит, если скажут, что равны? Текущий научный ответ, что все эти вопросы не могут иметь значения, потому что все эмпирические измерения есть статистические по сути, просто отодвигают к началу вопросов. Чувства, как в научном эксперименте, формируют мнение, размышление, как в математике, формирует знание. В этом и заключается, как отмечал математик-реалист, последователь Платона, разница между мнением и знанием. Вырабатывая свою позицию, реалист критикует интерпретацию типичного опыта.

Экспериментатор А придерживается точки зрения, что шесть дециметров в длине прута, измеренного в соответствии с общепринятыми стандартами, равны 7 с допуском плюс-минус 2. По мнению экспериментатора В, 5 плюс или минус 1 вполне достаточно. Математик-реалист настаивает на том, что ни А, ни В не могут знать ничего о «реальном» размере прута до тех пор, пока каждый продолжает апеллировать к своим чувствам и к своим приборам. Теперь числа, соответствующие длине, что А и В заложили в свои формулы и равенства, также сопровождаемые возможными погрешностями, рассматриваются как неизменные на все время процессов математической дедукции. И пока размышления корректны, утверждает реалист, А и В находятся в сфере знания. Когда же они перестают мыслить

абстрактно и переводят свои выкладки в экспериментальную фазу, они возвращаются обратно в поток простых мнений. Такова приблизительно точка зрения реалиста, и он никогда не перестанет удивляться тому, что, по мнению экспериментаторов, именно они преумножают накопленные знания человечества. Для него единственная часть любой науки, которая имеет право именоваться знанием, – это математика. Так как естествознание как раздвоенная личность находится в вечном конфликте само с собой, математика же, существующая монолитно в окружении разума, самодостаточна и отличается здравомыслием.

Бесконечный раздор между знанием Сократа и мнением нашел отражение в науке в виде конфликта между теорией и наблюдением. Тот факт, что подобные расхождения действительно имеют место, и достаточно часто, отрицать нельзя. Кто виноват, пока не решили, но есть подозрение, судя по некоторым примерам, что могут быть виновны оба фактора. Но реалист уверен в одном, что его математика всегда права, а потому вечно права. Но права так, как это понимает реалист, а математика реалиста по этой причине не имеет никакого значения в областях научного эксперимента и здравого смысла.

Возможно, что в большей степени, чем общие сведения о математике (равенства, точки, линии и т. д.), ее теоремы дают математику-реалисту бесчисленные подтверждения его уверенности. Вместо поиска доказательств этого постулата у Платона (или Сократа) процитируем другого знаменитого философа, известного как математика высокого уровня. Обратимся к Декарту, жившему в 1596–1630 годах, потому что он типичный великий математик, чье научное чутье метафизично и не однозначно. Как можно предположить со стороны такого ума, Декарт верил в реальность математических понятий. В «Пятой медитации» он раскрывает видение реального в Вечном треугольнике.

«Я представляю себе треугольник, – говорит он, – хотя такая фигура, возможно, и не существует и никогда не существовала нигде в мире за пределами моего разума.

Несмотря ни на что, эта фигура имеет определенную природу, или форму, или детерминированное содержание, которое неизменно и вечно и которое не я изобрел, но которое, при любом раскладе, зависит от моего восприятия. Это очевидно, потому что я могу продемонстрировать различные свойства треугольника, например что все три его угла в сумме равны двум прямым углам, что против наибольшего угла расположена наибольшая по длине сторона и т. д. Хочу я того или нет, я вижу достаточно четко и ясно, что эти свойства принадлежат треугольнику, хотя я никогда ранее о них не думал, и, даже если я впервые представил себе треугольник, никто никогда не сможет утверждать, что я изобрел или придумал их».

Загадочный треугольник, чьи свойства представил Декарт, не был плодом его фантазий, а являлся универсальным треугольником, что практически соответствует «Идее» Платона, согласно которой все треугольники, воспринятые органами чувств, представлены в нем в силу своей треугольности. Для реалистов аргумент Декарта вполне ясен и устраивает их. Другие же, необходимо честно признать, находят его очаровательно наивным. Повторим еще раз, это больше вопрос эмоций, чем разума, чтобы его рассудить.

Как только Платон осознал абстрактность математики, эстетики, этики и морали в «Идеях», он, видимо, почувствовал уверенность в себе и своем реализме. Но когда менее симпатичные ему понятия начали настаивать на своем метафизическом праве и также стали копиями соответствующих Вечных Идей, он засомневался. Между несомненными Идеями, такими как Равенство, и стоящими выше всех Истиной, Красотой и Добродетелью оказались Идеи, соответствующие обыденным, но бесспорным растениям и животным. Были ли эти Идеи совершенно чисты? Хотя вопрос следовало задать немного иначе, Платон мог бы спросить, обращаясь к Добродетели: «Что есть человек, яко помниши его?» Ответ прост.