Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Эрик Белл

Из числа сотен миллионов индивидуалов, к кому можно отнести слова «вот это человек», ни один не является

Человеком. Как заметил Протагор, вам никогда не встретить Человека идущим вдоль по улице, вы видите человека и узнаете его, если придется, если даже вы никогда его не видели. Но, игнорируя данные софизмы, как это делал Сократ, реалист считает, что каждый индивидуум представлен в Идее «Человек». Универсальный предлагаемый общий термин «Человек» являет собой некую Реальность. Эта Реальность может быть воспринята разумом, но не чувствами, человек, а не «Человек» – вот о чем докладывают чувства. Идея «Много», то есть множество людей, делится на идею «Один», то есть на идею «Человек», и «Человек» существует в навеки неизменяемой сфере «Идей» как «объективная реальность».

Таким образом, переходя к неосязаемому, реалист мог бы вначале представить всю красоту вселенной, расстилающейся перед ним. У каждого объекта есть изъян, и только некоторые похожи друг на друга. Хотя все они обладают «изюминкой», которую реалист воспринимает как красоту из идеи «Красота», которая охватывает все красивые вещи и входит незамеченной в его мозг. И эту «Красоту» он ощущает как «объективную реальность», более реальную, в несколько отличном и постоянном восприятии, чем любую мимолетную красоту, которую он до этого уже признавал красивой. Чувствуя, что «Красота» – это что-то хорошее, а «Добродетель» – это что-то красивое, а оба вместе – это правдиво, реалист в результате познает мистическое откровение, что «Красота», «Истина», «Добродетель» как «Идеи» каким-то образом проникают друг в друга. И поскольку арифметика и геометрия проникают в «Истину», следовательно, они также красивы и добродетельны.

На столь бесспорном выводе среднестатистический математик-реалист традиционно чувствует удовлетворение и успокаивается. Но, если он неколебимо метафизичен, как Платон, он продолжит поход к менее радостным «Идеям». Что бы вы сказали об Идеях «Чистки ногтей», «Волос», «Грязи», «Женщины легкого поведения» и тому подобного? Как Идеи они существуют. Когда Парменид задал этот заковыристый вопрос Сократу, на тот момент еще молодому, Сократ возмутился и отверг возможность пребывания столь вопиюще отвратительных идей вместе с «Истиной», «Красотой» и «Добродетелью» в «Сущем». Поскольку Сущее само есть Идея, в которой каждая Идея участвует в полном объеме, постольку, в противном случае, это вообще не будет неизменяемая Идея, а простое заблуждение чувств и кратковременное «становящееся». Парменид уверил Сократа, что философская зрелость вылечит его от юношеской щепетильности в отношении Реальности, и действительно так и случилось. Его выздоровление вернуло его человечеству.

Предполагая, что Платон был уверен в объективной реальности своих Идей, мы встаем на спорную почву. Вес авторитета в философии, казалось, способствовал формированию этого мнения, хотя некоторые критики возражали, что Платон в свои преклонные годы отказался от объективной реальности Идей, и в поддержку своих возражений приводили отрывки из «Парменида» и иных работ Платона. Для реалистов-математиков не суть важно, кто прав, а кто нет, ведь они, разумеется, остаются верными объективной реальности математических «Идей», во что бы там верил или не верил Платон, состарившись. Иначе их реализм не имеет никакого смысла.

«Идеи», хотя и «объективные реальности», не есть «объекты» в прямом смысле слова: кирпичи, народ, эмоции, – а по существу стоят ближе к мыслям. «Идея», однако, не есть мысль в чьем-то человеческом мозгу, даже не в Мозгу Абсолютном, если Абсолют, он же Бог, вообще имеет мозг или, если таковой и имеет, хоть изредка думает. Идеи – существующие сами по себе сущности, которые могут быть мыслями думающего человека. Они над пространством и над временем, независимы от разных богов и людей, вечны, неизменяемы и прекрасны, они не плод разума, но воспринимаемы им и «известны» только благодаря разуму или душе, а не через чувства.

Все это становится очевидно для математика-реалиста. Но коварные трудности проявляют себя. Застарелый конфликт Единицы и Многого разгорается вновь в различиях между Идеями и миром чувств. Например, полным-полно треугольников, но есть только один Треугольник, бесконечность целых чисел и только одно Целое число. Сфера Идей из Абсолютной реальности, Абсолютного существования, мир чувств нереален и нестабилен, за исключением Объектов чувств, составляющих его или участвующих в Идеях. Идея есть Единица, выделенная посредством частичной реальности из Многого, если это Много вообще реально. Хотя реализм как Идея есть Единица, его неясность, как было показано в «Пармениде» Платона, множественна. Например, чем является «реальный» статус следующего предположения, что «дважды три равно семи»? К какой Идее он относится? Решение абсолютно простое – к реалистичной.

Чтобы сравнить свое Абсолютное существование и рассмотреть свою Абсолютную реальность, Платон включил созидательное воображение и легко превзошел подвиг пифагорейцев, которые изобрели Антипод (Анти-Землю). Он убедил себя, что постиг Абсолютную несущность. «Нереальная» составная часть предметов в мире чувств, так же как и ошибочные предположения, публикуемые время от времени невнимательными реалистами, типа «дважды три равно семи», и есть это Абсолютное несуществующее.

Вечное существование этого монстра не должно смущать нас, поскольку оно происходит благодаря участию в Истине, Красоте и Добродетели, чей реализм делает действительными как математику, так и древние верования, дожившие до наших дней. Но не следует забывать, что Зенон объяснял Сократу, что парадоксы Одного и Многого вдохновили его на собственные парадоксы. Пока все это, включая фундаментальный парадокс Единицы и Многого, к удовлетворению сторон не преодолено, математический реализм (как и математический анализ) оставался без прочного фундамента. Но это не превращалось в серьезное препятствие. Еще предстоит показать, что противоречивость неизбежно противостоит убежденности.

Вкратце рассмотрев Идеи как «объективированные концепции», задаем вопрос: как выявить Идею? Разумеется, не с помощью чувств. С помощью умозаключений тоже вряд ли уловишь их во всей полноте. Хотя разум может подойти для подобного распознавания, если применить диалектику.

Полностью порвав с чувствами, диалектика оперирует исключительно в царстве Идей. Она имеет целью определить понятие и распознать его истинность. С помощью диалектического процесса происходит «распределение» на составляющие, выявление общего для разных вещей и выделение в конкретном виде подвидов с окончательным распознаванием мельчайших составляющих. Но поскольку все существует парами, согласно теории пифагорейцев, платоновское деление находится в родстве с дополнительным «сочетанием». Усовершенствованное распределение и сочетание, как кажется, могут стать эквивалентом современному аппарату перекрестной классификации по правилам символической логики.

Животные, например, когда их начинают «распределять» с учетом пар противоположностей, мужских, женских, разделяются на два взаимно исключающих класса, каждый из них может быть дальше «распределен» надвое, с учетом других пар противоположностей, и т. д. Когда остаются только 30 типов, 153, 485, 404 подкласса, практически все животные укладываются в ячейки, каждая предположительно внесет свой вклад в Идею, а в целом – в Абсолютное существующее. Изначальная пара, мужское, женское, например, могут оказаться в Идеях «Мужского», «Женского». Пифагорейцы, как уже было показано, распределяли из расчета своих десяти пар противоположностей. Диалектика Платона последовательно распределяет на две части из расчета категорий Реальности (Одинаковость, Несходство, Неподвижность, Движение и Существование). Только диалектика, и это понятно, способна создать обоснованную науку. Как можно предположить, реализм Платона допускает определенные парадоксы, с которыми до настоящего времени не полностью разобрались. Часть из них установил сам Платон. Каким образом, звучит вопрос в «Фаэдо», «Идея», которая согласно гипотезе является неизменной и вечной, вообще входит в состав изменчивых вещей этого чувственного мира и как объяснить обратное вхождение? В который раз, как только начинаем «реализовывать» свидетельство своих чувств в Идеях, ожидаемый прогресс от замены многостей единичностями превращается в иллюзорный. В «Идеях» необходимо накапливать «Все» Фалеса, Анаксимандра и Пифагора, преумножая внутри себя до высокого уровня, пока мощность множества Идей парадоксально не превзойдет мощность множества вещей. Простые софисты во времена Платона также задавали вопрос, что делают Идеи типа «Горячо», «Холодно», если не участвуют в чувственных образах «горячий», «холодный». Менее очевидно, чувственные «хороший», «истинный», «красивый» воспринимались всеми расформированными душами, освобожденными наконец-то из колеса жизни, и эти освобожденные духи не восприимчивы к переменам температуры. Следовательно, для них «Горячо» и «Холодно» существуют в несуществующем. На этом месте в античной дискуссии Аристотель, живший в 384–322 годах до н. э., отпустил ряд нелицеприятных комментариев. Зададим вопрос, насколько компетентен он был, чтобы критиковать метафизику Платона.