До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

-1 = 1 + 0i = cosπ + isinπ = exi.

Теперь рассмотрим только начало и конец этого равенства и используем натуральный логарифм:

In(-1) = In(exi) = πi.

Таким образом, Эйлер получил точное значение натурального логарифма от -1, отрицательного числа. На этом ученый приостановил интеллектуальную атаку на данную область и уехал в Санкт-Петербург. Только в 1751 году, почти 25 лет спустя, Эйлер обнародовал этот результат в надлежащем виде вместе со многими другими в фундаментальном труде "Введение в анализ бесконечно малых".

Как древние воины, которые продолжали выпускать стрелы даже при отступлении, Эйлер уехал в Россию и отложил изучение отрицательных логарифмов, продемонстрировав, тем не менее, свое будущее оружие.

ГЛАВА 2

Ряды, постоянные и функции: Эйлер в России

Уже в возрасте 20 лет Эйлер стал членом Петербургской академии наук. Так начался период его математического творчества, которому нет аналогов в истории данной науки. В это время ученый открыл гамма-функцию (Г), дал определение постоянной е и сделал другие важные открытия в анализе и теории чисел, а также нашел решения двух задач, имевшие значительные последствия: Базельской задачи и задачи о мостах Кенигсберга.

Эйлер ехал в Россию без особого энтузиазма: помимо сурового климата, его ждала страна, где пользовались другим алфавитом. Однако это было самой меньшей из трудностей, поскольку Эйлеру легко давались иностранные языки: он хорошо знал латынь, греческий, французский и немецкий и добавил к этому списку еще и русский. Этим Эйлер отличался (в лучшую сторону) от других иностранных членов Академии. Здесь впервые появился заморский ученый, с которым можно было поговорить и чья речь была понятна, которому можно было писать, который потрудился научиться выражать свои мысли на местном языке. К тому же он обладал блестящей эрудицией и огромной любознательностью по отношению ко всему, что его окружало. Получив звание члена Академии картографии — один из многочисленных его титулов, — Эйлер восхищался российскими успехами и делал весьма лестные сравнения с западной картографией, с которой был знаком до этого.

По приезду в Санкт-Петербург он очутился в компании таких талантливых ученых, как Кристиан Гольдбах и Даниил Бернулли, а также других, родом из Германии или говоривших на немецком языке. Изначально Эйлер должен был обучать применению математики и механики в физиологии, но очень скоро молодой преподаватель отделения медицины стал профессором математики (в 1733 году), поработав между делом также и профессором физики (в 1731 году). Этот важнейший для него переход от физиологии к физике произошел благодаря настойчивым обращениям в Академию его коллег Якоба Германа (1678-1733) и Даниила Бернулли.

Работа в Российской академии оказалась для Эйлера чрезвычайно благоприятным периодом: он быстро продвигался по служебной лестнице и завел крепкую дружбу с Даниилом Бернулли и секретарем Академии Кристианом Гольдбахом. Он много писал, постоянно узнавал что-то новое и начинал формировать научный авторитет во всем мире. В 1733 году, когда статус и финансовое положение Эйлера уже позволяли содержать собственный дом и семью, он женился на Катерине Гзель, дочери художника Академии. У них было 13 детей, из которых выжили только пятеро.

ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ

Петр I хотел подтолкнуть развитие своей империи с помощью образования и распространения знаний. В результате своих путешествий по Европе, где он подружился с Лейбницем, в 1724-1725 годах Петр решил открыть в столице страны Академию наук (Academia Scientiarum Imperialis Petropolitanae). За образец были взяты правила и структура Парижской академии, которая зависела от государственной поддержки и субсидий. Начальный период работы Академии наук был непростым: к нестабильной политической ситуации в стране — где правили дети, регенты и царицы — добавлялись интриги и подковерная борьба за власть. Все это подтолкнуло Эйлера, обеспокоенного тем, какой оборот принимали события, переехать из Санкт-Петербурга в Берлин, то есть из одной академии в другую.

В 1735 году у ученого возникла серьезная глазная инфекция. Есть мнение, что он заболел из-за стресса, вызванного срочной работой по определению широты Санкт-Петербурга. Так или иначе, Эйлер на некоторое время ослеп на правый глаз. Несмотря на то что зрение постепенно к нему вернулось, спустя три года ученый снова потерял зрение на правом глазу, уже окончательно. Однако, если верить словам, приписываемым

Эйлеру, его дух не был сломлен этим бесповоротным ухудшением зрения: "Так даже лучше, я не буду отвлекаться".

Он производил вычисления без видимых усилий, как другие люди дышат или как парят орлы.

Доминик Франсуа Жан Араго (1786-1853)

В 1738 году он получил Grand Prix Парижской академии — за который также боролись Вольтер и Эмили дю Шатле — за свое эссе об огне. Два года спустя, в 1740 году, Эйлер снова выиграл, обогнав Даниила Бернулли и Колина Маклорена, в этот раз за эссе об отливах и приливах.

ГАММА-ФУНКЦИЯ

Сразу же по приезду в Санкт-Петербург Эйлер одно за другим начал делать открытия, которые оказали огромное влияние на его научную жизнь. Считается, что первым из его моментов славы стало создание функции Г (заглавная греческая буква "гамма*), базового инструмента математического анализа. Намеки на Г появлялись в переписке между Даниилом Бернулли и Кристианом Гольдбахом уже около 1720 года, но только в 1729 году Эйлер впервые дал ей определение, а в 1814 году Адриен Мари Лежандр (1752-1833) ввел обозначение "гамма", записав его так: Г(x). Гамма-функция часто появляется в распределении вероятностей и активно используется физиками.

Обычно ее можно встретить в описании явлений, требующих применения экспоненциальных интегралов, типичных для атомной физики; она также распространена в астрофизике, динамике жидкостей и сейсмологии. Эта функция применяется во многих областях математики, особенно в комбинаторике и, в частности, в анализе дзета-функций Римана, имеющих огромное значение в изучении простых чисел. Целью Эйлера было найти способ интерполяции, как это называлось в то время, заключавшейся в том чтобы, зная крайние значения переменной, вывести ее промежуточные значения естественным образом, не прибегая к искусственным методам. Рассмотрим пример. Так называемый факториал натурального числа л! в арифметике, впервые встречающийся у Кристиана Крампа (1760-1826), равен

n! = n(n - 1)(n -2) · ... · 3 · 2 · 1,

то есть является произведением всех натуральных чисел, меньших или равных л. Факториал — чрезвычайно быстро растущая функция, как видно из следующей таблицы.

n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40 320 9 362 880 10 3628 800 100 9,3326215444 · 10157 1000 4,0238726008 · 102567 10000 2,8462596809 · 1035659 100000 2,824229408 · 10456573

Факториал определен только для натуральных чисел; последовательность факториала прерывна. Интерполировать факториал означает продлевать его, пока не найдется непрерывная функция f(x) которая равна n!, когда значение х равно значению натурального n.

Почти банальным примером является понятие квадрата числа. Пусть дано натуральное число n, его квадрат будет равен n2 = n · n. Его можно интерполировать на любое вещественное число х, просто записав f(x) = х2. Эйлер интерполировал факториал n! и в 1729 году нашел непрерывную функцию f(x), которая вела себя как факториал, когда x = n был натуральным числом. Мы будем называть ее Г(х), что, собственно, и является ее современным обозначением. Эйлер определил значение

Г(x) в каждой точке посредством того, что сегодня мы бы назвали пределом:

Г(x) = limn→∞(n!nx)/(x (х+1)(х+2)...(х+n).

Сейчас вместо этого выражения используется интегральный вид: