До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

Наука. Величайшие теории: выпуск 20: До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

Пер. с итал. — М.: Де Агостини, 2015. — 160 с.

ISSN 2409-0069

©Joaquin Navarro Sandalinas, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012

© ООО «Де Агостини», 2014-2015

Еженедельное издание

Введение

В 2007 году весь мир отмечал 300-летие со дня рождения знаменитого швейцарского математика, физика и инженера Леонарда Эйлера. Отдельные ученые и научные организации организовывали конгрессы, симпозиумы, подготавливали публикации, посвященные его наследию. По значению и влиянию работ Эйлера ставят в один ряд с подлинными гигантами науки, такими как Ньютон и Эйнштейн.

И хотя подобные сравнения не всегда уместны, не будет преувеличением сказать, что во всей истории можно отыскать лишь несколько ученых, которые превосходили бы Эйлера по ценности открытий. Его имя традиционно ассоциируется с математическим анализом — областью математики, изучающей непрерывные явления и включающей ряды, пределы и дифференциальное исчисление; но он также внес большой вклад в геометрию и теорию чисел, создал с нуля новую область исследований — теорию графов, издал множество важнейших публикаций на самые разные темы (по гидродинамике, механике, астрономии, оптике, кораблестроению), писал работы научно-популярного характера, а также увлекался созданием математических игр и головоломок. Параллельно с этим Эйлер успел обновить математическую терминологию своего времени, приблизив ее к той, которой сейчас пользуется научное сообщество.

Если этот перечень кажется беспорядочным, то в этом виноват сам Эйлер. Хотя он и написал около дюжины книг, имеющих важнейшее значение для развития науки, в том числе «Введение в анализ бесконечных», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», большая часть его работ была опубликована в виде отдельных статей, и в них невозможно проследить последовательность его интересов в разные периоды жизни. Ученый начинал заниматься сложнейшей задачей теории чисел — так называемой Базельской задачей, прославившей его в 1735 году, — и тут же придумывал формулу, соединяющую неожиданным образом стороны, вершины и углы полиэдра, приходя к одному из важнейших геометрических результатов в истории. Эйлер творил спонтанно, следуя вдохновению своего уникального гения.

К необыкновенной разносторонности интересов ученого надо добавить еще один фактор, затрудняющий получение общего представления о его научной деятельности,— его уникальную продуктивность. Эйлер был одним из самых плодовитых, если не самым плодовитым математиком в истории. Его труды были частично каталогизированы Густавом Энестромом и идентифицируются, как оперы знаменитых музыкантов, по номеру. Произведения Моцарта обозначаются буквой К (по фамилии составителя, Кёхеля), а Эйлера — Э (от Эне- строма). Число Э составляет 866. Но этот список далеко не полный; предполагается, что полное собрание сочинений Эйлера {Opera Omnia), которое начали издавать в 1911 году, должно составить 90 томов по 450 страниц. Эйлер сам признавался, что иногда карандаш переставал ему подчиняться и писал быстрее, чем он того хотел. Переписка Эйлера, известная сегодня, состоит из 3000 писем. Его статьи и книги составляют примерно треть всех трудов по математике, физике и механике, написанных между 1726 и 1800 годами. Такая продуктивность кажется еще более невероятной, если учесть, что Эйлер на протяжении 35 лет страдал косоглазием (это подтверждает и его знаменитый портрет 1753 года) и был полностью слеп в последующие 22 года жизни.

Наверное, Эйлер жил в наиболее подходящее ему время. XVIII век был назван эпохой Просвещения, поскольку в этот период западный мир по большей части перешел к Новому времени, освободившись от тьмы прошлого. Этот процесс начался благодаря неудержимому и неизбежному распространению знаний. В науке прогресс привел к двум важным нововведениям: открытию национальных академий и появлению научных журналов. Деятельность Эйлера разворачивалась в академической среде. Академии появились еще в XVII столетии, но их расцвет пришелся на следующий век, когда они получили поддержку от просвещенных монархов, желавших приумножить славу своих стран, оказывая покровительство ученым и развивая науку.

Еще одним обстоятельством, навсегда изменившим интеллектуальную жизнь, стало появление периодических научных журналов. До этого, за исключением книг, которые авторы часто печатали на свои собственные средства, об открытиях узнавали из писем или путешествий. Появление таких изданий, как Philosophical Transactions, Comptes rendus, Memoires de VAcademie и Journal de Crelle, сделало доступным самому широкому кругу то, что раньше было привилегией немногих избранных. Эйлер, в частности, активно пользовался этими средствами коммуникации.

Жизнь Эйлера можно разделить на четыре основных периода: первый, до 1727 года — обучение; затем 14 лет в Академии наук, основанной Петром I в Санкт-Петербурге; до 1766 года — работа в Берлинской академии наук; наконец, возвращение в Россию, где он и умер. В конце первого периода, ознаменовавшегося знакомством с братьями Бернулли, которые разглядели в ученом интерес к анализу, Эйлер сделал одно из самых важных своих открытий — формулу, позже названную его именем. При помощи математической константы е она связывает комплексное число i и тригонометрические функции синус и косинус:

exi = cosx + isinx.

Число е, лежащее в основании натуральных логарифмов, часто встречается в работах Эйлера и иногда называется числом Эйлера. Несколько десятилетий спустя на основе этой формулы ученый развил большую часть своих работ по анализу.

Первый русский период Эйлера можно считать самым плодотворным в его научном творчестве. Как можно предположить, зная о продуктивности Эйлера, открытия, совершенные в это время, настолько многочисленны, насколько и удивительны.

Только в области анализа ученый нашел способ точного вычисления числа е и определил многие его свойства; открыл гамма-функцию (Г), которая позволяет интерполировать значения функций определенного вида и используется в комбинаторике, теории вероятностей, теории чисел и физике; открыл формулу Эйлера — Маклорена для вычисления сумм и интегралов; решил (и впоследствии обобщил полученные результаты) Базельскую задачу, поставившую вопрос о сумме ряда

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

К этому же периоду относятся важные работы по теории чисел, такие как определение постоянной Эйлера — Мас- керони, изучение так называемых чисел Ферма и решение задачи о мостах Кенигсберга в 1736 году, приведшее к созданию совершенно новой области математики — теории графов. В 1741 году Эйлер принял предложение Фридриха Великого, короля Пруссии, и переехал в Берлин. Ученый продолжал делать одно открытие за другим. Среди них мы можем упомянуть о формуле для многогранников, связывающей грани (F), ребра (S) и вершины ( V) многогранника простым и неожиданным для геометров того времени образом:

C - A + V = 2,

а также определение прямой Эйлера. К этому периоду относятся работы над проблемой Гольдбаха, самой знаменитой теоремой о числах после Великой теоремы Ферма, и исследования в области вариационного исчисления, имевшего огромное значение для физики. Именно в Берлине Эйлер написал трактаты, посвященные анализу (возможно, это самые гениальные его сочинения), а также труды по инженерному делу и механике.

Последний этап своей жизни Эйлер вновь провел в Санкт- Петербурге. Ему было уже больше 50 лет, он испытывал большие трудности со зрением, но до самой смерти продолжал писать научные статьи. Ставший легендой мировой математики еще при жизни, в этот период Эйлер в основном занимался теорией чисел, в частности простыми числами (и связанными с ними, такими как числа Мерсенна и дружественные числа), диофантовыми уравнениями и разбиением множеств. Он также нашел время для более легкомысленных задач — магических квадратов и других математических игр — и даже создал игру для детей (круги Эйлера), дошедшую до наших дней. Кроме того, он написал превосходную научно-популярную работу о вопросах механики и астрономии, которую посвятил принцессе Ангальт-Дессау.

1707 15 апреля в Базеле, Швейцария, родился Эйлер.

1720 При поддержке Иоганна Бернулли Эйлер в возрасте всего лишь 13 лет поступает в Базельский университет.

1723 Получает степень магистра философии за сравнительный анализ идей Декарта и Ньютона.

1727 Не получив место профессора физики в Базельском университете, переезжает в Россию.

1731 Становится профессором физики в Петербургской академии наук. Положение, которое он теперь занимает, делает его фигуру одной из самых влиятельных среди ученых.