До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

В 1735 году, во время своего первого российского периода, Эйлер сделал последнее из своих важных открытий в области анализа. Он вывел полезнейшую формулу, которая позволяет получать приблизительное значение интеграла, заменяя его на сумму, или приблизительное значение суммы, заменяя ее на интеграл. Независимо от Эйлера ее также открыл шотландский ученый Колин Маклорен. Так называемая формула Эйлера — Маклорена работает следующим образом: пусть дана функция f(x). Когда говорят о ее сумме, обычно имеют в виду две части, связанные между собой, но разные. Если использовать целые значения, то получится сумма

а когда ее складывают по всем х, получается интеграл:

i(n) = ∫0nƒ(x)dx.

Кажется очевидным, что между s(n) и i(n) существует связь, но первая является дискретной суммой, а вторая — непрерывной. Формула Эйлера — Маклорена во многих случаях позволяет перейти от одной к другой. Если мы знаем s(n), то можем получить значение i(n), а если знаем i(n), можем высчитать s(n).

По приезду в Петербург Эйлер получал 300 рублей, которых хватало на оплату проживания, дров для камина и масла для ламп. После того как он сменил Даниила Бернулли на посту профессора математики в 1733 году, Академия подняла его жалованье до 600 рублей. В том же году эта сумма еще увеличилась: Эйлер начал давать частные уроки и по предложению барона фон Мюнниха работать председателем экзаменационной комиссии в местной кадетской школе. Стабильное финансовое положение, сложившееся благодаря его новым обязанностям, позволило Эйлеру жениться на Катерине Гзель, дочери Георга Гзеля, художника швейцарского происхождения, работавшего в Академии искусств по особому приглашению Петра I. Церемония бракосочетания прошла 27 декабря 1733 года, после чего молодожены переселились в деревянный дом, "превосходно обставленный", по словам самого Эйлера, на Васильевском острове, недалеко от Академии наук. Через год у них родился первенец, Иоганн Альбрехт. Его крестным отцом стал фон Корф, бывший в то время президентом Академии. Этот факт свидетельствует о большом уважении, с которым относились к Эйлеру, что неудивительно, учитывая его огромный вклад в науку. Но это было еще не все. Буквально год спустя, в 1735-м, Эйлер поразил математическое сообщество гениальным озарением: он нашел решение Базельской задачи.

В англосаксонских странах очень любят составлять рейтинги из десяти пунктов. Существует множество книг и телевизионных программ, посвященных десяти лучшим представителям в какой-либо области. В рамках этой традиции были созданы списки научных работ, классифицированные по изяществу, влиянию на повседневную жизнь или по интеллектуальной сложности. В числе прочих был сделан список лучших достижений Эйлера. В случае с другими учеными это часто невозможно, поскольку на такой список попросту не хватит материала, но с Эйлером такой опасности нет: его открытий будет достаточно и на более длинный список. Итак, что же стоит на первом месте? Это формула

π2/6 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ...

в которой содержится решение Базельской задачи. Ее происхождение неизвестно, но она вполне закономерна. Зная, что такое гармонический ряд, то есть ряд, соответствующий сумме членов, обратных числам

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

и зная, что он расходится, логично задаться вопросом о сумме обратных квадратов, которые кажутся сходящимися, однако к какому конкретному числу — неизвестно:

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = 1,644934.

Не существовало ни малейшей догадки по этому вопросу. Если попробовать сложить тысячи чисел из этого ряда, будет ясно: сумма приближается к определенному числу, но в то же время настолько медленно, что практически невозможно не округлить его до сотых. Считается, что впервые о Базельской задаче упомянул итальянский священник и математик Пьетро Менголи (1626-1686), а Эйлеру о ней рассказал Иоганн Бернулли. Уже в 1729 году ученый говорил о задаче в письме Гольдбаху. В 1730 году эта задача занимала мысли всех математиков и привлекала их так же, как впоследствии — Великая теорема Ферма. Эйлер приступил к ней с таким энтузиазмом, что нашел несколько вариантов решения. Все они необыкновенно изобретательны, а некоторые являются идеалом для специалистов по анализу, особенно решение, опубликованное в 1741 году, в котором используется техника интегрального исчисления. Классическое же решение эксперты называют "третьим": оно наиболее изящное с точки зрения неподготовленного читателя. Мы немного поговорим о нем в приложении 2.

Недавно я нашел, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, зависящего от квадратуры круга... А именно, шестикратную сумму этого ряда равной квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Эйлер

Решение Базельской задачи стало неожиданностью для научного сообщества, и новость об этом разлетелась по свету. Мир в то время был довольно небольшим, мир образованных людей — еще меньше, а способы сообщения, кроме почты, труднодоступны.

Эйлер подготовил почву для решения, проведя предварительные вычисления и прочие операции. Например, сначала он использовал промежуточные суммы, как в методе Эйлера — Маклорена, чтобы получить более точное число, чем 1,64. Благодаря своему уму Эйлер нашел шесть точных цифр, и его отправной точкой стало число:

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = 1,644934.

С другой стороны, от Эйлера, для которого возводить в различные степени число л было обычным делом и обладавшего необыкновенной памятью, не могло ускользнуть, что 1,644934 очень похоже на π2/6. Следовательно, мы можем предположить, что, вступая на этот тернистый путь, Эйлер уже знал, к чему он придет. Ни один его современник не обладал таким преимуществом. Гениальность Эйлера позволила ему обойтись без сложения около 3000 членов исходного ряда.

Решив Базельскую задачу, Эйлер не остановился на достигнутом. Вернемся к дзета-функции из предыдущей главы:

ξ(x) = 1 + 1/2x + 1/3x + 1/4x + ... + 1/nx + ...

При х - 1 мы получаем гармонический ряд, а при х - 2 — ряд из Базельской задачи. Эйлер углубил этот вопрос и на основе своих размышлений над Базельской задачей получил следующие выражения для ряда степеней:

ξ(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ... + 1/n4 + ... = π4/90

ξ(6) = 1 + 1/26 + 1/36 + 1/46 + ... + 1/n6 + ... = π6/945

ξ(8) = 1 + 1/28 + 1/38 + 1/48 + ... + 1/n8 + ... = π8/9450

ξ(10) = 1 + 1/210 + 1/310 + 1/410 + ... + 1/n10 + ... = π10/93555

до ξ(26) со все более сложными формулами, где n всегда стояло в степени л, соответствующей ξ(n). В 1739 году Эйлер пришел к общему выражению:

ξ(2n) = (-1)n+1 (2π)2nB2n/2·(2n)!,

в котором содержались числа Вк, числа Бернулли (о них мы поговорим в главе 4). Постепенно они становятся все больше и ими все труднее оперировать; для примера достаточно записать пятидесятый член:

ξ(50) = 39 604 576 419 286 371866 998 202π60/285 258 771457 546 764 463 363 635 252 374 414183 254 363 234 375

Ада Байрон (1815-1852), впоследствии вышедшая замуж за Уильяма Кинга и ставшая известной как Ада Кинг, графиня Лавлейс, была дочерью лорда Байрона. Однако она никогда не знала отца, поскольку родители развелись меньше чем через месяц после ее рождения. Аде ничто не мешало развивать математические способности, так как ее мать считала математику мощным противоядием от возможных склонностей к литературе: глубокая ненависть к бывшему мужу и его работе сопровождала ее всю жизнь. Главную роль в научной деятельности Ады сыграл знаменитый математик Чарльз Бэббидж (1791-1871), создатель первого компьютера в истории. Ада же сделала для этой машины рекурсивный алгоритм, который позволял вычислять числа Бернулли. С точки зрения информатики процедура, придуманная Адой, является самой настоящей компьютерной программой, первой в истории. В 1980-х годах министерство обороны США в честь женщины-ученого дало имя АДА универсальному языку программирования по стандарту MIL-STD-1815 (номер соответствует году рождения Ады).

Вычислительная машина Чарльза Бэбиджа, для которой Ада Кинг создала программу для вычислений чисел Бернулли.

Действительно, первое программное обеспечение в истории (то есть первая программа для автоматических вычислений компьютером) находило числа Бернулли рекурсивным методом. Его создала Августа Ада Кинг, графиня Лавлейс, в 1843 году для механического компьютера Чарльза Бэббиджа, и оно действительно оказалось безупречным с точки зрения информатики. Нечетные значения ξ(n) очень трудно вычислить, и даже сегодня над ними продолжают работать. Очевидно, что первое из них совпадает с гармоническим рядом