До предела чисел. Эйлер. Математический анализ. - Joaquin Sandalinas

1734 Женится на Катерине Гзель, дочери художника Академии. У них будет 13 детей, из которых выживут только пять.

1735 Ученый начинает терять зрение, что, тем не менее, не мешает ему решить знаменитую Базельскую задачу и прославиться в научном мире.

1736 Выходит первая книга Эйлера. Он решает задачу о мостах Кенигсберга. Известность ученого продолжает расти.

1741 Принимает предложение Фридриха II, короля Пруссии, и вместе с семьей переезжает в Берлин, где получает место в Академии.

1742 Эйлер и Гольдбах в переписке обсуждают задачу, позже названную проблемой Гольдбаха.

1748 Эйлер публикует один из самых известных своих трудов — 4 Введение в анализ бесконечно малых", — в котором рассматривает в основном математические функции.

1755 Издается еще одна фундаментальная работа ученого — "Дифференциальное исчисление".

1766 Вследствие идейных расхождений с Фридрихом II Эйлер снова уезжает в Россию.

1768 Выходит третье сочинение Эйлера

1770 по математическому анализу — "Интегральное исчисление".

1771 На здоровом глазу Эйлера образуется катаракта. Он полностью теряет зрение, но это только улучшает его способности считать в уме.

1783 18 сентября в Санкт-Петербурге Эйлер умирает от кровоизлияния в мозг.

ГЛАВА 1

Базель, колыбель великого математика

Базель был прекрасным местом для начала научной карьеры, особенно в области математики.

Этот город был интеллектуальным центром высочайшего уровня, здесь располагался лучший университет Швейцарии и жили многие члены семьи Бернулли, самой знаменитой династии математиков в истории.

Именно они оказали покровительство молодому и многообещающему Эйлеру и привили ему любовь к анализу, которую он пронес через всю свою жизнь.

Базель — город в Швейцарии, занимающий стратегическое положение у границы с Францией и Германией. Он расположен на берегу Рейна недалеко от водопадов, которые делают невозможным речную навигацию. Сейчас в нем вместе с пригородами проживает 750 тысяч человек. Здесь находится самый старый в Швейцарии университет и многочисленные исторические памятники. В Базеле родились и жили такие выдающиеся деятели, как Андреас Везалий, Карл Густав Юнг, Эразм Роттердамский, Фридрих Ницше и Парацельс, а также семья Бернулли. Сегодня самый известный житель Базеля — теннисист Роджер Федерер. Более образованные горожане предпочитают упоминать Эразма Роттердамского, который, хоть и родился не здесь, жил и умер в Базеле. Среди ученых и в особенности математиков самым выдающимся сыном Базеля считается Леонард Эйлер, родившийся здесь более 300 лет тому назад.

Эйлер был математиком, инженером, физиком, астрономом, философом, архитектором, музыкантом и иногда теологом, одним из самых влиятельных ученых XVIII века и одним из самых плодовитых в истории науки. Его именем названо множество математических явлений. Привести их полный список было бы проявлением излишнего педантизма, но в качестве примера необходимо упомянуть хотя бы эти: формула Эйлера, углы Эйлера, характеристика Эйлера — Пуанкаре, прямая Эйлера, формула Эйлера — Маклорена, теорема Эйлера — Лагранжа, теорема вращения Эйлера, теорема Эйлера о треугольниках, эйлеров цикл, круги Эйлера, эйлеров параллелепипед и еще около 140 названий, в зависимости от источника.

Семья Эйлера ничем не была примечательна. Его отец, Пауль Эйлер, был пастором, а мать, Маргарита Брукер, — домохозяйкой и дочерью пастора. Леонард был старшим из четырех детей, у него было две сестры — Анна Мария и Мария Магдалена — и брат Иоганн Генрих, ставший довольно известным художником.

У Пауля Эйлера было неплохое математическое образование, поскольку в свое время он учился у Якоба Бернулли (1654-1705), выдающегося математика и основателя знаменитой династии, а также дружил с его братом Иоганном (1667— 1748), который был младше Якоба на 13 лет. Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Отец хотел, чтобы он тоже стал пастором и в надлежащее время начал "пасти своих овец", но сыну была уготована другая судьба.

Юный Леонард уже в школе отличался большими способностями к языкам: хорошо говорил на немецком и французском, прекрасно знал латынь, достиг успехов в изучении иврита и греческого, как и ожидалось от будущего священника, и приступил к философии.

Считается, что, воспользовавшись дружбой своего отца с Иоганном Бернулли, Эйлер попросил его давать ему по субботам уроки математики. Так его преподаватель, один из крупнейших математиков эпохи, обнаружил у мальчика феноменальные способности к этой науке.

Гений Эйлера проявился в очень раннем возрасте: в 13 лет он поступил в университет, в 1723 году стал магистром философии, написав работу о теоретических различиях вселенных, вытекающих из учений Декарта и Ньютона. Иоганн Бернулли продолжал следить за успехами Эйлера и, хотя по характеру был очень скуп на похвалу, считал его гением.

Если попросить назвать четырех ученых, живших до XX века и занимающих математический олимп, то общепринятым ответом будет: Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс. Если же попробовать выделить кого-то одного, задача усложнится. Многие проголосовали бы за разностороннего математика, представленного целой семьей Бернулли. Эта научная династия включала отцов, сыновей и братьев, которые оказывали влияние на науку на протяжении более 100 лет. В этой семье частенько возникали ссоры на почве математических расхождений, и некоторые из них имели серьезные последствия. Например, Якоб, основатель династии, написал в своем завещании, что запрещает своему брату Иоганну читать его научные записи; а тот, в свою очередь, обвинил своего сына Даниила в плагиате своей работы по гидродинамике. Более века (а точнее, 150 лет без перерыва) главой кафедры математики Базельского университета был представитель семьи Бернулли, и до середины XX века, то есть более 250 лет, в этом городе не было Бернулли без кафедры.

Самыми важными достижениями Бернулли считаются использование полярных координат, углубленное изучение лемнискаты и логарифмической спирали, решение различных задач по теории вероятностей и рядов, знаменитая задача по гидродинамике, названная их именем, и правило Бернулли — Лопиталя. Математический анализ получил огромное развитие именно благодаря этой семье и, усилиями Иоганна, стал любимой дисциплиной Эйлера.

Гравюра 1784 года, изображающая Иоганна и Якоба Бернулли, занятых решением геометрических задач.

Иоганн Бернулли оказал решающее влияние на образование и научные интересы Эйлера, а о важности его роли в науке стоит поговорить отдельно. Он был выдающимся математиком, возможно самым ярким из всей семьи, но его отец желал, чтобы тот стал торговцем, а затем врачом. В конце концов Иоганн посвятил себя математике, как и старший брат Якоб, всегда оказывавший ему поддержку, хотя их отношения периодически омрачались соперничеством и ссорами.

Иоганн был довольно самонадеян, часто оказывался в центре споров и дискуссий, в том числе и с членами своей семьи. Сделав открытие, он всегда претендовал на первенство, несмотря на то что другие сделали такое же открытие раньше него. Иоганна даже обвиняли в том, что он лгал, выдавая чужие открытия за свои.

Он был не только великим математиком, но и настоящим кладом для историков, которые благодаря ему смогли узнать множество анекдотов, например о случае с маркизом де Ло- питалем (1661-1704), богатым аристократом и великолепным математиком. Лопиталь заключил с Бернулли необычный интеллектуально-экономический договор: за плату маркиз получал право доступа к открытиям Иоганна и мог выдавать их за свои. Фундаментальные для математического анализа инструменты, такие как правило Лопиталя — Бернулли, увидели свет под именем маркиза, хотя на самом деле были открыты Иоганном. Великолепная книга маркиза де Лопиталя "Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий" была встречена читателями с восторгом, но сегодня мы знаем, что авторство он должен разделить с Бернулли. После смерти маркиза Иоганн предъявил права на все, что на самом деле было открыто им, но прошло некоторое время, прежде чем ему поверили.

В июне 1696 года, еще до рождения Эйлера, на страницах первого научного журнала в истории Acta emditorum ("Деяния ученых"), издаваемого в Лейпциге, Иоганн Бернулли бросил вызов своим коллегам: на основе заданных точек А и В, где А находится на высоте, отличной от В, найти траекторию, которую опишет тело, двигаясь от одной точки к другой под действием только силы притяжения. Разумеется, у самого Иоганна уже было решение (которое, как выяснилось позже, было не совсем верным), и он просто хотел проверить своих коллег и в особенности брата Якоба. В мае 1697 года в Acta eruditorum были опубликованы правильные результаты, в которых искомой кривой признавалась циклоида с началом в точке А и максимумом в В (см. рисунок).