3. Излучение. Волны. Кванты - Ричард Фейнман

*Его можно вывести, если дополнительно предположить, что при добавлении слоя одной среды к поверхности другой угол преломления на выходе из последней среды не меняется.

Глава 27

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

§ 1 Введение

§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности

§3. Фокусное расстояние линзы

§ 4. Увеличение

§ 5. Сложные линзы

§ 6. Аберрация

§ 7. Разрешающая способность

§ 1. Введение

В этой главе мы рассмотрим некоторые при­менения изложенных ранее принципов к уст­ройству простейших оптических систем, ис­пользуя приближение геометрической оптики. При конструировании многих оптических при­боров это приближение оказывается особенно полезным. Геометрическая оптика и очень про­ста, и очень сложна. Я хочу этим сказать, что уже поверхностное изучение геометрической оптики в школе позволяет с помощью очень простых правил составлять грубые схемы при­боров; если же мы хотим при этом учитывать искажения в линзах и прочие тонкости, то зада­ча становится слишком сложной даже для сту­дентов вашего курса! Если кому-нибудь дейст­вительно понадобится точно спроектировать линзу, учитывая аберрацию, то лучше всего обратиться к специальным руководствам или просто проследить путь лучей через разные поверхности (как это сделать — сказано в кни­гах) и, пользуясь законом преломления, опре­делить направление вышедших из линзы пучков и выяснить, насколько хорошее изображение они создают. Считалось, что это слишком длинная процедура, но сейчас, когда мы вооружены вычислительными машинами, этот способ вполне хорош. Сформулировав задачу матема­тически, легко подсчитать пути всех лучей. Словом, дело это простое и не требует новых принципов. Кроме того, законы и элементар­ной и специальной оптики фактически непри­менимы в других областях, поэтому нам не было бы необходимости чересчур подробно изучать предмет, если бы не одно важное исключение.

Фиг. 27.1. Треугольник, высота, которого h меньше основания d, a гипотенуза s больше основания.

Оказалось, что наиболее современная и абстрактная теория геометрической оптики, разработанная Гамильтоном, имеет весьма важные приложения в механике, причем в механике она имеет даже большее значение, чем в оптике, поэтому пусть ею занимается курс аналитической механики. А пока, понимая, что геометрическая оптика интересна только сама по себе, мы перейдем к изучению элементарных свойств оптических систем на основе принципов, изложенных в предыдущей главе.

Для дальнейшего нам понадобится одна геометрическая формула: пусть дан треугольник, высота которого h мала, а основание d велико; тогда гипотенуза s (фиг. 27.1) больше осно­вания (нам нужно это знать, чтобы вычислить разность времен на двух различных путях света). Насколько гипотенуза больше основания? Мы можем найти разность D =s-d несколькими спо­собами. Например, s2-d2=h2или (s-d) (s+d)=h2. Но s-d=D, a s+d~2s. Таким образом,

(27.1)

Вот и все, что нам нужно знать из геометрии для изучения изоб­ражений, получаемых с помощью кривых поверхностей!

§ 2. Фокусное расстояние для сферической поверхности

Рассмотрим сначала простейший пример преломляющей поверхности, разделяющей две среды с разными показателями преломления (фиг. 27.2). Случай произвольных показателей

Фиг. 27.2. Фокусировка на преломляющей поверхности.

пусть разберет читатель самостоятельно; нам важно рассказать об идее, задача же достаточно проста и ее можно решить в лю­бом частном случае. Итак, пусть слева скорость света равна 1, а справа 1/n, где n — показатель преломления. Свет в стекле идет медленнее в n раз.

Теперь представим себе точку О на расстоянии s от лицевой поверхности стекла и другую точку О' на расстоянии s' внутри стекла и попытаемся выбрать кривую поверхность так, чтобы каждый луч, вышедший из О и попавший на поверхность в Р, приходил в точку О'. Для этого нужно придать поверхности такую форму, чтобы сумма времени прохождения света на пути от О к Р (т. е. расстояние ОР, деленное на скорость света, равную единице) плюс n-О'Р, т.е. время на пути от Р к О', было по­стоянной величиной, не зависящей от положения точки Р. Это условие дает уравнение для определения поверхности. В ре­зультате получается весьма сложная поверхность четвертого порядка (читатель может вычислить ее для собственного удоволь­ствия с помощью аналитической геометрии). Проще рассмотреть специальный случай s® Ґ, когда кривая получается второго порядка и ее легче определить. Интересно сравнить эту кри­вую с кривой для фокусирующего зеркала (когда свет приходил из бесконечности), которая, как вы помните, оказалась параболой.

Итак, нужную поверхность сделать нелегко; чтобы сфокуси­ровать свет от одной точке в другую, нужна довольно сложная поверхность. Практически такие сложные поверхности даже не пытаются создать, а пользуются компромиссным решением. Мы не будем собирать все лучи в фокус, а соберем только лучи, достаточно близкие к оси 00'. Раз идеальная форма поверхности столь сложна, возьмем вместо нее сферическую поверхность, которая имеет нужную кривизну у самой оси, и пусть далекие лучи отклоняются от оси, если они того хотят. Сферу изготовить намного проще, чем другие поверхности, поэтому выберем сферу и рассмотрим поведение лучей, падающих на сферическую по­верхность. Будем требовать точной фокусировки только для тех лучей, которые проходят вблизи от оси. Иногда эти лучи называ­ют параксиальными, а наша задача — найти условия фокуси­ровки параксиальных лучей. Позже мы обсудим ошибки, свя­занные с отклонением лучей от оси.

Итак, считая, что Р близко к оси, опустим перпендикуляр PQ длиной h. Если бы наша поверхность была плоскостью, проходящей через Р, то время, затрачиваемое на пути от О к Р, превышало бы время на пути от О к Q, а время на пути от Р к О' превышало бы время от Q к О'. Поверхность стекла должна быть кривой, потому что только в этом случае весь излишек времени компенсируется задержкой при прохождении пути от V к Q! Далее, излишек времени на пути ОР есть h2/2s, а излишек времени на отрезке О'Р есть nh2/2s'. Это лишнее время, которое должно компенсироваться временем на пути VQ, накапливается на пути в среде, а не в вакууме. Другими словами, время на пути VQ в n раз больше соответствующего времени в вакууме, а поэтому лишнее время на этом отрезке есть (n-l)VQ. Ну, а какова длина VQ? Если С есть центр сферы с радиусом R, то с помощью уже знакомой нам формулы выводим, что длина VQ есть h2/2R. В результате мы получаем закон, (27.2)

который связывает длины s и s' и определяет радиус кривизны R искомой поверх­ности:

(27.3)

Если мы хотим сфокусировать свет из точки О в точку О', то эта формула позволяет вычислить требуемый радиус кривизны поверхности.

Интересно, что та же линза с таким же радиусом кривизны R будет фокусировать и на других расстояниях, т. е. она является фокусирующей для любой пары расстояний, для ко­торых сумма обратной величины одного расстояния и обратной величины другого, умноженного на n, есть постоянное число. Таким образом, данная линза (если учитывать только паракси­альные лучи) является фокусирующей не только для точек О и О', но и для бесконечного числа пар точек, если эти пары удов­летворяют соотношению 1/s+n/s' = постоянная, характеризую­щая данную линзу.

Представляет интерес частный случай s®Ґ. Из формулы видно, что при увеличении s другое расстояние s' уменьшается. Другими словами, когда точка О удаляется, точка О' прибли­жается, и наоборот. Когда точка О уходит на бесконечность, точка О' также двигается внутри стекла вплоть до расстояния, называемого фокусным расстоянием f'. Если на линзу падает параллельный пучок лучей, он соберется в линзе на расстоянии f'. Можно задать вопрос и по-другому. (Вспомним правило обратимости: если свет переходит из О в О', он, разумеется, может двигаться и в обратном направлении, из О' в О.) Таким образом, если источник света находится внутри стекла, то может возникнуть вопрос, где лучи соберутся в фокус? В част­ности, если источник внутри стекла находится на бесконечности (та же задача, что и раньше), то где будет фокус вне линзы? Это расстояние обозначают через f. Можно, конечно, ска­зать и иначе. Если источник расположен на расстоянии

f, то лучи, проходя через поверхность линзы, выйдут параллель­ным пучком. Легко определить f и f':

(27.4)

(27.5)

Отметим интересный факт: если мы разделим каждое фокус­ное расстояние на соответствующий показатель преломления, то получим один и тот же результат! На самом деле, это общая теорема. Она справедлива для любой сложной системы линз, поэтому ее стоит запомнить. Мы не доказали эту теорему в общем виде, а лишь отметили ее применимость для одной поверхности, однако оказывается, что вообще два фокусных расстояния неко­торой системы связаны подобным образом. Иногда выражение (27.3) записывают в следующем виде: