История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

При сравнении живых организмов и, в частности, наиболее сложно организованной системы — нервной системы человека — с искусственными автоматами следует иметь в виду следующее ограничение. Естественные системы чрезвычайно сложны, и ясно, что проблему их изучения необходимо подразделить на несколько частей. Один метод такого расчленения, особенно важный в нашем случае, заключается в следующем. Организмы можно рассматривать как составленные из частей, из элементарных единиц, которые в определенных пределах автономны. Поэтому можно считать первой частью проблемы исследование структуры и функционирования таких элементарных единиц в отдельности. Вторая часть проблемы состоит в том, чтобы понять, как эти элементы организованы в единое целое и каким образом функционирование целого выражается в терминах этих элементов.

24. Хаос и сложность

С начала девятнадцатого века математика рассматривалась как аналитический и логический предмет; к концу столетия она произвела на свет целый зверинец математических монстров, вроде непрерывных функций, не имеющих касательных. В динамике задача трех тел — тестовый пример стабильности Солнечной системы — все еще не имела никаких устойчивых решений, и Анри Пуанкаре, анализируя частный случай этой задачи, создал очень сложную, запутанную структуру. Изменение точки зрения с аналитической на геометрическую показало математикам, что то, что казалось ужасающим беспорядком, имело много подобий с тем видимым беспорядком, коим является реальным мир. Математические монстры, оказалось, охраняли пещеру Аладдина с новыми и замечательными математическими объектами. Вход в этот мир осуществлялся с помощью компьютеров, которые стали лабораториями новой математики, базирующейся на алгоритмах. В свою очередь, сделанные при этом открытия могли поддержать аналитическое представление и приводили к пониманию, что «простые» системы, которые использовались математиками, — всего лишь верхушка колоссального айсберга.

Имя, неразрывно связанное с фрактальной геометрией, — Бенуа Мандельброт. Ныне он профессор Йельского университета и почетный профессор IBM[26]. Его интерес к тому, что он позже назвал фракталами, возник в 1951 году. В 1977 году Мандельброт издал книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», а в 1982 году вышло ее пересмотренное и расширенное издание — «Фрактальная геометрия природы». О фракталах было написано очень много, широко известны создаваемые ими узоры в стиле рококо. В динамике была хорошо известна идея «аттракторов», например, орбита планеты — это эллиптический аттрактор. В ней существуют некоторые возмущения, но они удерживаются в определенных пределах. При решении полиномиалов числовыми методами, если итерации сходятся к определенному решению, то это решение — аттрактор. Иногда корень, который, как известно, может быть выражен графически, не может быть получен методом итерации — такой корень называют «отражателем». Но в хаотической системе вроде турбулентного воздушного потока аттрактор представляет собой фрактал, и он известен как странный аттрактор.

Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых ситуациях. Логистическое разностное уравнение z = λz (1 — z) — простое квадратное уравнение со всего одним изменяющимся коэффициентом, обозначенным λ. Уравнение имеет два корня, как и предполагается для квадратного уравнения, но если мы используем итерационную процедуру, то обнаружим некоторые удивительные свойства. Для большинства значений λ итерация «взрывается» и отклоняется к бесконечности. Но если мы начнем с λ = 1 и начнем медленно увеличивать значение этого коэффициента, мы увидим, что итерация не отклоняется и при этом не сходится к единственному значению: вместо этого она колеблется между рядом значений. В некоторый момент система ведет себя хаотически, выполняя дикие скачки между множеством чисел. Если мы теперь добавим комплексные числа, сегмент вещественной оси разветвляется, демонстрируя фрактальную структуру. С помощью простого преобразования разностное уравнение принимает вид другого квадратного уравнения z = z2 - т. Итерационный процесс весьма прост, но очень утомителен, если его выполнять вручную. Мандельброт первым с помощью компьютера распечатал то, что теперь называют множеством Мандельброта для случая, где z — комплексное число. Множество Мандельброта — по сути, ряд чисел, и его исходная одноцветная распечатка представляла собой черно-белый текст, состоящий из значений m, для которых итерация не сходилась к бесконечности — то есть тех, для которых итерации оставались ограниченными. Лишь после того, как компьютеры обзавелись более мощными принтерами и увеличилась сложность компьютерной графики, стала видна невероятная красота этой структуры, с ее зубчатыми завитками. Эта простая система выявила многие характеристики, которые Мандельброт стремился свести воедино. С помощью компьютера стало возможно увидеть самоподобие, столь характерное для фракталов, когда путем изменения масштаба изображения выполняется погружение внутрь множества, где обнаруживаются мини-множества, подобные большему целому. Возвращаясь к разностному уравнению, для комплексных значений λ итерации создают то, что Мандельброт любил называть «драконами». Страшные монстры математического анализа переродились в прекрасных существ, которые с радостью были приняты в дружную семью математики.

Слово «хаос» обычно истолковывается неверно, поскольку в повседневном языке оно часто служит синонимом «беспорядка». Но теория хаоса совершенно детерминистская — множество Мандельброта всегда будет выглядеть одинаково, и любое начальное значение z всегда будет приводить к одной и той же повторяющейся последовательности. Различие между хаотической и случайной системой заключается в том, что случайная система вообще не имеет никакой структуры — это математический эквивалент белого шума, — тогда как хаос систему имеет, хотя очень сложную и трудноуловимую. Однако, хотя порождение фракталов — детерминистский процесс, он непредсказуем: нет никакого алгоритма для того, чтобы заранее решить, будет ли точка относиться ко множеству Мандельброта или нет. Единственный способ сделать это — осуществить итерацию. Цветные версии фракталов — наглядная демонстрация того, сколько шагов итерации будет достаточно, чтобы точка устремилась к очень большой величине, а сложные узоры с расположенными рядом точками разного цвета иллюстрируют, что такие точки в конечном счете будут стремиться разойтись. Известно, что точка на экране компьютера — это пиксель конечного размера, но по мере увеличения разрешения экрана увеличивается и сложность рисунка. Именно поэтому хаотические системы настолько трудно предсказать. Хотя итерации детерминистичны, они также очень чувствительны к начальным значениям. Когда они используются для моделирования систем реального мира, ошибки начальных измерений будут только возрастать. То, что многие природные динамические системы ведут себя хаотично, остается одной из тайн нашей Вселенной.

Может показаться, что теория хаоса рисует довольно гнетущую картину Вселенной как о нестабильном пространстве, которому суждено рассеяться под неустанным гнетом второго закона термодинамики. И все же Вселенная полна четких структур, от регулярных ударов пульсаров до изящных спиралей в молекуле ДНК. Постеленное наступление энтропии, похоже, обращено вспять, по крайней мере, локально — джинн загнан в бутылку. Исследование, как такие структуры появляются, — область математики, называемая теорией сложности вычислений. В исследование сложных систем теперь включено много разделов математики, включая теорию хаоса, теорию искусственного интеллекта, теорию создания систем и теорию автоматов.

Интерес к сложным системам зародился в самых разных областях науки, и ключевой фигурой в работе по их сопряжению был Джордж А. Коуэн. В 1942 году Коуэн, специалист в области химии радиоактивных элементов, работал в Чикагском университете, где итальянский физик Энрико Ферми строил первый атомный реактор — союзники боялись, что немцы уже работают над созданием атомной бомбы. Ранние эксперименты Ферми и его теоретические исследования по вопросу осуществимости цепной реакции были направлены на достижение достаточной энергии для создания атомной бомбы. В то время Коуэн работал в Манхэттенском проекте и после войны стал руководителем исследовательской группы в лаборатории Лос-Аламоса. Именно группа Коуэна проанализировала последствия первого советского атомного взрыва. Он почти тридцать лет служил в Группе Бете — тайной группе ученых, которой был поручен контроль за ядерными исследованиями России. В это время он стал все больше интересоваться проблемами науки и государственной политики. Он считал, что традиционные образовательные методы не дают ученым возможности видеть ни более широкие связи между тем, что казалось разрозненными дисциплинами, ни связь между наукой и более политическими проблемами экономики, экологии и этики. В 1982 году Коуэн ушел из Лос-Аламоса и вошел в состав Совета по науке Белого дома. В то же самое время он зондировал отношение коллег к его мечте — создать центр, посвященный целостному исследованию всех количественных наук.