История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

Интерес к сложным системам зародился в самых разных областях науки, и ключевой фигурой в работе по их сопряжению был Джордж А. Коуэн. В 1942 году Коуэн, специалист в области химии радиоактивных элементов, работал в Чикагском университете, где итальянский физик Энрико Ферми строил первый атомный реактор — союзники боялись, что немцы уже работают над созданием атомной бомбы. Ранние эксперименты Ферми и его теоретические исследования по вопросу осуществимости цепной реакции были направлены на достижение достаточной энергии для создания атомной бомбы. В то время Коуэн работал в Манхэттенском проекте и после войны стал руководителем исследовательской группы в лаборатории Лос-Аламоса. Именно группа Коуэна проанализировала последствия первого советского атомного взрыва. Он почти тридцать лет служил в Группе Бете — тайной группе ученых, которой был поручен контроль за ядерными исследованиями России. В это время он стал все больше интересоваться проблемами науки и государственной политики. Он считал, что традиционные образовательные методы не дают ученым возможности видеть ни более широкие связи между тем, что казалось разрозненными дисциплинами, ни связь между наукой и более политическими проблемами экономики, экологии и этики. В 1982 году Коуэн ушел из Лос-Аламоса и вошел в состав Совета по науке Белого дома. В то же самое время он зондировал отношение коллег к его мечте — создать центр, посвященный целостному исследованию всех количественных наук.

Рост мощности вычислительной техники позволил ученым исследовать все более сложные уравнения, не только уравнения со многими параметрами, но и так называемые нелинейные уравнения. До этого момента математика по большей части имела дело с линейными уравнениями. Этот подход, хотя и был в свое время очень успешным, теперь, когда речь зашла о точном моделировании сложных систем, начинал казаться ограничением. Но компьютерам было не важно, что решать — линейные или нелинейные уравнения, — они просто производили в большом количестве и с невероятной скоростью как числовые решения, так и решения в графическом виде. Ученые и математики теперь получили новую цифровую лабораторию. Именно нелинейные уравнения позволяют нам рассмотреть взаимосвязи между переменными, которые мы раньше считали совершенно независимыми друг от друга. Началось плодотворное сотрудничество между физиками и биологами, и в Лос-Аламосе даже открылся собственный Центр нелинейных систем. Но Лос-Аламос не должен был отклоняться от своей основной области — ядерной физики, так что Коуэну надо было приискать себе другое место, где он мог бы, опираясь на успех, достигнутый в Лос-Аламосе, распространить исследование на другие области.

Коллеги Коуэна с энтузиазмом отнеслись к основанию нового института согласно выдвинутым предложениям, но именно предполагаемая широта охвата мешала точно определить, чем же фактически должен заниматься этот институт. Поворотный момент наступил тогда, когда к команде ученых присоединился Мюррей Джелл-Манн. Ведущий физик-теоретик, именно Джелл-Манн приспособил слово «кварк», придуманное Джеймсом Джойсом в «Поминках по Финнегану», для обозначения нового типа субатомных частиц. Он был одним из ведущих пропагандистов теории Великого Объединения, которая сводила воедино все фундаментальные силы природы в единственную, когерентную структуру. Теперь он хотел пойти еще дальше, создав Великую Единую Теорию Всего — от древних цивилизаций до сознания. В 1984 году институт был зарегистрирован как Институт Рио-Гранде, поскольку более предпочтительное название — Институт Санта-Фе — тогда использовалось для терапевтических исследований. К концу того же года в институте были проведены первые симпозиумы в рамках Школы всеамериканских исследований в Санта-Фе. Финансирование шло от самых разных организаций, но, поскольку сам Коуэн сумел сколотить небольшое состояние в 1960-х, основав Национальный банк Лос-Аламоса, недостаток средств не стал для него непреодолимым препятствием. При первой же встрече стало совершенно ясно, что многим из величайших умов в соответствующих областях науки действительно было что сказать друг другу. Выяснилось, что многие из них занимаются одними и теми же проблемами. По существу, они говорили о системах на стадии становления: это было понимание, что целое больше, чем сумма составляющих его частей, что от взаимодействия многих агентов — не важно, частиц, людей, молекул или нейронов, — появляется сложность, которая не очевидна у отдельных составляющих этих систем. Похоже, научный редукционизм работал лучше при переходе от сложных систем к более простым единицам, однако при построении здания сложных структур из простых единиц наука была менее успешна. Всплеск интереса, возникший в самом начале, не привел сразу же к полному финансированию работы института, но новый центр в конечном счете смог получить название Института Санта-Фе. Вполне естественно, что первый крупный спонсор пришел из мира финансов.

Банки и инвестиционные компании все сильнее интересовались выяснением способности традиционной экономики сделать точные предсказания о развитии финансовой системы. В 1987 году недавно назначенный генеральный директор «Ситикорп» воспользовался возможностью профинансировать симпозиум экономистов и физиков, проходивший под эгидой Института. Определенные физические системы имели те же особенности, что и социальные системы: они обе описывались похожими математическими выражениями, и эта математика была математикой сложных систем. Фактически они известны как сложные адаптивные системы, в которых можно проследить множество отрицательных и положительных механизмов обратной связи. К ним относятся иммунная система, развитие эмбриона, экология, развитие экономических рынков и политических партий. Сложность — результат сочетания соперничества и сотрудничества, поскольку они находятся в состоянии непрерывного динамического равновесия: по сути, это ходьба по канату, натянутому между строгим порядком и хаосом. И что самое удивительное — такие системы действуют по довольно простым правилам, даже самые сложные и запутанные узоры так или иначе рождаются из взаимодействия простых стандартных блоков без предварительного предопределенного шаблона. Сложность — это феномен становления. И Институт Санта-Фе теперь занимал видное положение в научном мире.

Один из примеров действия сил, описанных выше, — автомат. Один «мир» автоматов был известен как «игра жизни». Он был придуман в 1970 году Джоном Конвеем, математиком из Кембриджа. Это была не столько игра, сколько миниатюрная вселенная, в которой двумерная сетка была населена эволюционирующими клетками. Как только население заполнило этот мир, каждая клетка жила и умирала в зависимости от числа соседних живых клеток — если их было слишком много, она умирала от перенаселения, если их было слишком мало — клетка умирала от одиночества. Вселенная начала развиваться, и на ней возникло множество структур, вроде мерцающих алмазов, узоров в виде бабочки и «планеров», которые, казалось, летели над поверхностью. Джон фон Нейман начал исследовать клеточные автоматы еще в 1940-е годы, но его незаконченная работа была отредактирована и издана только в 1966 году, почти через десять лет после его смерти. Он заявил, что существует по крайней мере одна клеточная форма автомата, которая может воспроизвести себя, посему самовоспроизводство не может считаться уникальным свойством живых организмов. Он также показал, что программное обеспечение не зависит от аппаратных средств, будь это компьютер или мозг. Открытие структуры ДНК, сделанное Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном в 1953 году, подтвердило анализ фон Неймана математических требований к системам саморепродуцирования. В 1984 году Стивен Вольфрам показал, что автоматы имеют глубокие подобия с нелинейной динамикой. Он разделил клеточные автоматы на четыре «класса всеобщности». Классы I и II производят статические решения за короткое число циклов. В первый класс входят твердые, неподвижные структуры, во второй — периодические и устойчивые. В класс III входили хаотические системы, не выказывающие никакой видимой структуры, в то время как в класс IV входили «игра жизни» и другие системы, демонстрирующие порядок на стадии становления. Кристофер Лэнгтон уточнил эту классификацию и обнаружил, что система, проходящая фазу изменения, например лед, превращающийся в воду, будет развиваться, проходя от порядка через сложность к хаосу. Клеточные автоматы были объявлены новой формой жизни. При подходящих условиях они могли воспроизводиться и даже действовать как компьютер, не подражая аппаратным средствам, управляющим программой, но действуя по принципу, который фон Нейман и Тьюринг назвали универсальным компьютером. «Игра жизни» продемонстрировала, что поведение, подобное тому, что мы наблюдаем у живых существ, возникает в состоянии между порядком и хаосом, в состоянии сложности в рамках идеально настроенной вселенной.