История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Ричард Манкевич

В 1936 году живописец Шарль Сирато издал «Манифест дименсионизма». Цитируя теории Эйнштейна как один из источников своего вдохновения, он объявляет, что, «одухотворенные новой концепцией мира», искусства проникли в новое измерение. Живопись должна была оставить плоскость и выйти в объемное пространство, таким образом придя к пространственным конструкциям и инсталляциям. Он настаивал, что «скульптура должна покинуть замкнутое, неподвижное и мертвое пространство, то есть трехмерное пространство Евклида, чтобы завоевать артистически выразительное, четырехмерное пространство [Германа] Минковского». Манифест был подписан внушительным числом ведущих художников. Декларация учитывала и основные интерпретации четвертого измерения, то есть как пространственное и духовное измерение, так и время.

Однако, вообще говоря, немногие живописцы после 1930-х годов демонстрировали открытый интерес как к четвертому пространственному измерению, так и к неевклидовым пространствам, за исключением сюрреалистов. Андре Бретон нашел новые геометрии идеально подходящими в качестве аргументов в пользу новой «сюрреальности». Хотя сюрреалистичная теория Бретона в значительной степени базировалась на анализе подсознания Фрейда, на их создание также оказали влияние измерения высшего порядка, четырехмерное пространство-время, объединенное с более высокими измерениями иррационального и подсознательного. Мы можем заметить этот интерес в названиях некоторых из их работ, вроде «Молодой человек, удивленный полетом неевклидовой мухи» Макса Эрнста (1942), а также в их содержании. Примеры таких произведений — «пластичные» часы Сальвадора Дали, а также «Постоянство памяти» (1931) и гиперкуб — четырехмерный аналог куба — в его «Распятии» (Corpus Hypercubicus) 1954 года. Наиболее научный подход к искусству продемонстрировал сюрреалист Оскар Домингес, который, работая в скульптуре, был очарован жизнью объектов во времени. Его идеи относительно литохронических поверхностей кажутся очень близки к скульптурным работам Боччони. Оскар Домингес создал ряд пространственных «космических» картин, многогранные формы которых сравнивались с геометрическими моделями, построенными в Институте Анри Пуанкаре и показанными на фотографиях Мэна Рея на выставке сюрреалистов 1936 года. Но, чтобы неевклидовы геометрии явились миру во всей своей эстетической прелести и математической точности, надо было дождаться появления компьютеров.

Новые многомерные и неевклидовы геометрии, которые зародились как абстрактные математические теории, не только стали использоваться в новой физике, но и послужили источником вдохновения для художественных и философских движений, которые стремились свергнуть привычный образ мышления. В мире искусства эти геометрии принимали самые разные формы, от духовных до совершенно анархических, а порой и оба вида одновременно. Отказ от евклидовой геометрии как пространственной парадигмы означал, что было создано пространство для нового взгляда на жизнь, Вселенную и все сущее.

Новые художники подвергались яростному нападению за их озабоченность геометрией. Однако геометрические фигуры — сущность рисунка. Геометрия — наука о пространстве, его измерениях и соотношениях — всегда определяла нормы и правила живописи.

До сих пор трех измерений геометрии Евклида было вполне достаточно для выражения беспокойства, которое чувствуют великие художники, тоскующие по безграничности.

Новые живописцы не собираются, как и их предшественники, быть геометрами. Но можно сказать, что геометрия для скульптуры — то же самое, что грамматика для искусства слова. Сегодня ученые не ограничиваются тремя измерениями Евклида. Живописцы совершенно естественно, можно сказать интуитивно, увлеклись новыми возможностями измерения пространства, которые на языке современных студий обозначаются термином «четвертое измерение».

С точки зрения пластики четвертое измерение выходит из трех известных измерений. Оно отображает необъятность пространства во всех направлениях в любой взятый момент. Это само пространство, это измерение бесконечности. Четвертое измерение придает всему пластичность. Оно придает всему правильные пропорции, в то время как в греческом искусстве, например, из-за несколько механического ритма пропорции постоянно нарушаются.

В греческом искусстве было чисто человеческое понимание красоты, в нем нужен человек как мера совершенства. Но в искусстве новых живописцев за новый идеал принимается бесконечная Вселенная, и именно по этому идеалу мы сверяем новые формы прекрасного, именно он позволяет живописцу располагать предметы в соответствии с желаемой им степенью пластичности…

И наконец, я должен отметить, что четвертое измерение… призвано поддержать устремления и предчувствия многих молодых художников, которые изучают скульптуры Египта, Африки и народов Океании, медитируют на различных научных работах и живут в ожидании великого искусства.

23. Машинные коды

В истории математики существовало множество параллельных течений, из которых то одно, то другое периодически выходило на передний план. Такими были отношения между арифметикой и геометрией, или между чистой и прикладной математикой. Другой парой противоположностей можно назвать алгоритмическую и «аналитическую» математику. Последнюю более интересовали лежащие в основе структуры и «красивые» теоремы, тогда как первая в основном занималась выработкой процедур, необходимых для принятия практических решений. Мы видели, например, как в различных системах счисления использовались различные методы или алгоритмы, позволяющие найти иррациональные числа вроде √2. Исследование того, какая процедура наиболее эффективна в терминах достижения необходимого уровня точности при наименьшем числе шагов, — основная забота алгоритмической математики.

Первоначально термин «алгоритм» обозначал вычисления, выполняемые при помощи индо-арабских цифр, в отличие от вычислений на абаке или на счетной доске. По мере сокращения в Европе подсчетов на абаке, а также потому, что вычисления стали намного более трудоемкими, росло желание выполнять вычисления при помощи механического вычислительного устройства. В семнадцатом веке математики вроде Паскаля, Декарта и Лейбница мечтали создать универсальный язык, на котором можно было бы закодировать все математические проблемы, и написать методы решения, которые можно было бы выполнять механически. Они пытались построить разнообразные механические калькуляторы. Представление Лейбница об универсальном языке исчисления выходило за рамки дифференциального и интегрального исчислений и включало формальные правила, с помощью которых можно было решать вопросы науки, этики и закона. Использование вычислительных машин могло значительно увеличить мощность любого эффективного алгоритма, но лишь в двадцатом веке произошло объединение программного обеспечения и аппаратных средств.

В 1819 году Чарльз Бэббидж (1791–1871) создал первый проект «дифференциальной машины», а в 1822 году выстроил опытный рабочий образец. Он надеялся, что это улучшит и скорость, и точность вычисления очень необходимых таблиц, например таблицы логарифмов. Британское правительство поддержало полномасштабное строительство этой машины, способной к созданию беспрецедентно точных таблиц для страхового, административного и научного использования. Но к 1834 году проект намного превысил бюджет и вышел из графика. Хотя идеи Бэббиджа и его честность в отношении финансовых вопросов никогда нее вызывали сомнений, правительство отложило дальнейшее финансирование. К тому времени он перенес свое внимание на проект «аналитической машины» — настоящего предшественника современного компьютера. Ключевой особенностью этого агрегата было разделение хранилища, где находились числа во время вычисления, и машины, которая выполняла арифметические операции. Входные и выходные данные были закодированы на перфорированных картах, равно как и устройство контроля, которое осуществляло выполнение программы. Был также предусмотрен вывод на печатное устройство. Чтобы можно было выполнять эти операции, использовался паровой двигатель. Но «аналитическая машина» так никогда и не была построена, и в 1842 году правительство решило прекратить финансирование «разностной машины». Это стало еще одним подтверждением желчного отношения Бэббиджа к британской науке. Он был сооснователем Аналитического общества, главная цель которого состояла в том, чтобы довести обучение математике в Кембридже до стандартов континента. В 1830 году он написал статью, в котором яростно критиковал состояние британской науки, в основном обвиняя в этом изолированность Королевского общества, что привело к созданию британской Ассоциации развития науки. К сожалению, анализ соотношения стоимости и эффективности идей Бэббиджа показал, что они не будут реализованы в течение еще почти ста лет.