9. Квантовая механика II - Ричард Фейнман

Фиг. 17.3. Точка (х, у, z) лежит на оси z' системы координат х' , у', z'.

Мы знаем, что он не сможет оказаться на оси z', если только m — его z'-компонента момента коли­чества движения — не равна нулю. Когда же m' =0, то амплитуда того, что электрон обнаружится на оси z', есть Fl(r). Значит, результат получится перемножением двух амплитуд. Первая это амплитуда того, что атом, находящийся в состоянии |l, т> относительно оси z, окажется в состоянии | l, m'=0> относи­тельно оси z' . Умножьте эту амплитуду на Fl (r) и вы получите амплитуду yl,m(r) того, что электрон обнаружится в точке (r, q, j) относительно первоначальной системы осей.

Давайте все это распишем. Матрицы преобразования для поворотов мы уже вычислили. Чтобы перейти от системы х, у, z к системе х', у', z' (см. фиг. 17.3), можно сперва сделать поворот вокруг оси z на угол j, а потом сделать поворот вокруг новой оси у (оси у') на угол q. Совместный поворот выразится произведением

Rу(q)Rz(j).

Амплитуда того, что после поворота обнаружится состояние | l, m' =0>, есть

В итоге получаем

Орбитальное движение может обладать только целыми зна­чениями l. (Если электрон может быть обнаружен в любом месте, где r№0, то имеется некоторая амплитуда того, что в этом на­правлении будет m=0. А состояния с m=0бывают только при целых спинах.) Матрицы поворота для l=1 приведены в табл.15.2 (стр. 129). Для больших l вы можете воспользоваться общими формулами, выведенными в гл. 16. Матрицы Rz(j) и Ry(q) написаны по отдельности, но как их комбинировать, вы знаете. В общем случае вы начнете с состояния | l, m> и подей­ствуете на него оператором Rz(j), получив новое состояние Rz(j)|l, т>(которое просто равно eimj|l, m>). Затем вы подействуете на это состояние оператором Ry(q) и получите состояние Ry(q) Rz(j) |l, m>. Умножение на <l, 0| даст вам матричный элемент (17.31).

Матричные элементы операции поворота — это алгебраиче­ские функции от q и j. Те частные виды функций, которые появляются в (17.31), возникают и во многих других задачах, связанных с волнами на сфере. Им присвоили особое имя. Правда, не у всех авторов обозначения одинаковы; чаще всего все же пишут

Функции Yl,m(q, j) называют сферическими гармониками, a a — просто численный множитель, который зависит от того, как определено Yl,m. При обычном определении

В этих обозначениях волновые функции водорода записываются так:

Угловые функции Yl,m(q,j) важны не только во многих квантовомеханических задачах, но и во многих областях клас­сической физики, в которых встречается оператор С2, например в электромагнетизме. В качестве другого примера их примене­ния в квантовой механике рассмотрим распад возбужденного состояния Ne20 (о котором говорилось в предыдущей главе), которое испускает a-частицу и превращается в О16:

Neao'^o^-fHe4.

Допустим, что возбужденное состояние имеет спин l (обяза­тельно целый), а z-компонента момента количества движения есть т. Спросим вот о чем: если даны l и т, токакова амплитуда того, что a-частица вылетит в направлении, составляющем с осью z угол q и с плоскостью xz угол j (фиг. 17.4)?

Фиг. 17.4. Распад возбужденного состояния Ne20.

Решить эту задачу нам поможет следующее наблюдение. Распад, в котором a-частица вылетает прямо вдоль оси z, должен происходить из состояния с m=0. Это потому, что у самих О16 и a-частицы спин равен нулю, а за счет движения вдоль оси z момента вокруг этой оси не создашь. Обозначим эту амплитуду а (на единицу телесного угла). Тогда, чтобы найти амплитуду распада под произвольным углом (см. фиг. 17.4), остается только узнать, с какой амплитудой данное начальное состояние будет обладать нулевым моментом относительно направления распада. Амплитуда того, что распад будет в направлении (q, j), тогда будет равна произведению а на амплитуду того, что состояние |l, т>относительно оси z окажется в состоянии |l, 0> отно­сительно z' (направления распада). Эта последняя амплитуда как раз и есть то, что мы писали в (17.31). Вероятность увидеть a-частицу под углом (q, j), стало быть, равна

Для примера рассмотрим начальное состояние с l=1 и различными т. Из табл. 15.2 (стр. 129) мы знаем все нужные амплитуды:

Это и есть три возможные амплитуды угловых распределений, в зависимости от того, какое т у первоначального ядра.

Такие амплитуды, как (17.36), встречаются так часто и так важны, что им дали несколько названий. Если амплитуда углового распределения пропорциональна любой из этих трех функ­ций или любой их линейной комбинации, то мы говорим: «орби­тальный момент системы равен единице». Или можно сказать: «Ne20* испускает р-волну». Или говорят: «a-частица испускается в состоянии с l=1». Выражений так много, что даже стоит соста­вить словарик. Если вы хотите понимать разговор физиков, то вам просто нужно выучить их язык. В табл. 17.1 приведен сло­варь орбитальных моментов количества движения.

Таблица 17.1 · СЛОВАРИК ОРБИТАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ (l=j-ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА)

Если орбитальный момент равен нулю, то повороты системы координат ничего не меняют и зависимости от угла нет: «зави­симость» от угла имеет вид постоянной, скажем 1. Это называют «s-состоянием». Есть только одно такое состояние, пока дело касается только зависимости от угла. Если орбитальный момент равен 1, то амплитуда зависимости от углов может быть одной из трех приведенных функций, смотря по тому, чему равно m, или их линейной комбинацией. Их называют «р-состояниями».

Таких состояний три. Если орбитальный момент равен 2, то подобных функций пять (см. таблицу). Любая их линейная ком­бинация называется «l=2»-амплитудой, или амплитудой «d-волны». Теперь вы сразу догадаетесь, какая будет следующая буква. Что должно идти после s, p, d? Ну, конечно же, f, g, h ит. д. по алфавиту. Буквы эти ничего не значат. [Когда-то они что-то значили: «резкая» (sharp), «главная» (principal), «диффузная» (diffuse) и «фундаментальная» (fundamental) серии линий опти­ческого спектра атомов. Но это было тогда, когда еще не было известно, откуда эти серии линий берутся. После f особых названий уже не было, так что мы сейчас просто продолжаем g, h и т. д.]

Угловые функции в таблице проходят под несколькими име­нами и определяются порой с небольшими вариациями в числен­ных множителях, стоящих впереди. Иногда их называют «сфери­ческие гармоники» и обозначают Yl,m(q,q). Иногда их пишут Рlm(cosq)eimj, а при m=0просто Рl(cosq). Функции Pl(cosq) называются «полиномы Лежандра» по cosq, а функции Plm(cosq) именуют «присоединенными функциями Лежандра». Таблицы этих функций встречаются во многих книгах.

Обратите, кстати, внимание, что все функции с данным l имеют одну и ту же четность — при нечетных l они от инвер­сии меняют свой знак, при четных l — нет. Поэтому можно на­писать, что четность состояния с орбитальным моментом l рав­на (-1)l.

Как мы видели, одни и те же угловые распределения мо­гут относиться к разным вещам: к ядерному распаду, к другим ядерным процессам, к распределению амплитуд наблюдения электрона в том или ином месте атома водорода. Например, если электрон находится в р-состоянии (l=1), то амплитуда того, что он обнаружится в каком-то месте, зависит от угла определен­ным образом, но всегда представляет собой линейную комби­нацию трех функций для l=1из табл. 17.1. Возьмем очень интересный случай cosq. Он означает, что амплитуда, скажем, положительна в верхней части (q<p/2), отрицательна в нижней (q>p/2) и равна нулю при q=90°. Возводя ее в квадрат, видим, что вероятность встретить электрон меняется с q так, как пока­зано на фиг. 17.5, и не зависит от j.