Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

Казалось бы, я просто поменял составляющие части квадрата местами так, чтобы из них получился аккуратный прямоугольник. Но погодите. Площадь квадрата равна 64 клеткам, а площадь прямоугольника – 65. Откуда же взялся этот довесок? На этой картинке трудно увидеть, что диагональ, пересекающая вторую фигуру, – не вполне прямая линия. Края составных частей не совсем прилегают друг к другу, что и приводит к появлению лишней клетки. Декарт, как известно, говорил: «Чувственное восприятие есть чувственный обман». С тех пор, как я увидел эту картинку, я, по-моему, никогда больше не мог полностью верить собственным глазам. Меня устраивают только строгие доказательства связей или паттернов на языке алгебры. Что, если с нечетными числами, которые я выкладывал по краям квадратов, тоже происходит нечто подобное этому хитрому фокусу?

Для разоблачения таких визуальных фокусов бывает полезно применить тот же шорткат в обратном направлении – превратить геометрические фигуры в числа. Декарт был одним из математиков, предложивших идею словаря для переводов между языком чисел и языком геометрии. Этот словарь был одним из величайших лингвистических изобретений, которые наряду с алгеброй позволяют находить шорткаты к пониманию Вселенной.

Собственно говоря, все мы хорошо знакомы с этим словарем: мы используем его, когда видим карту или навигатор GPS. Сетка, накладываемая на город или страну, позволяет мне идентифицировать любую точку на местности: два числа указывают, где эта точка расположена на сетке. Система GPS использует координатную сетку, горизонтальной осью которой служит экватор, а вертикальной – меридиан, проходящий через Гринвич.

Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.

Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.

Могущество этого перевода становится особенно ясным, когда нужно описать движение некоего объекта в пространстве. Бросьте мяч – и я смогу описать высоту мяча над землей в момент, когда он находится на заданном расстоянии от бросившего его. Связь между этими двумя величинами выражается математическим уравнением. Пусть х – расстояние, которое мяч пролетел по горизонтали. Пусть v – скорость мяча в вертикальном направлении в момент броска, а u – его горизонтальная скорость. Если обозначить высоту мяча над землей буквой y, то эти ингредиенты дадут формулу для определения этой высоты:

Буква g обозначает величину, которую называют ускорением свободного падения. Она определяет, насколько сильно мяч притягивается к данной планете под действием силы тяжести.

Как бы сильно или высоко вы ни бросили мяч, уравнение остается тем же самым. Нужно только изменить значения u и v, играющие роль регуляторов настройки, которые можно подкрутить, чтобы изменить форму траектории. Понимание этой закономерности, которая определяет, как летят по воздуху любые мячи, позволяет предсказать, где мяч упадет на землю. Ее формула – это квадратное уравнение относительно х. Если вы футболист и хотите узнать, где вам нужно встать, чтобы принять летящий мяч на голову и отправить его в ворота противника, вам нужно решить это уравнение относительно х. Как я рассказывал в предыдущей главе, древние вавилоняне нашли алгоритм для решения этой задачи еще четыре тысячи лет назад.

Но такие квадратные уравнения описывают не только траектории мячей. Если посмотреть на изменения цен на товары с колебаниями спроса и предложения, их зачастую можно описать уравнениями такого же типа. Когда уравнения описывают числа, появляется возможность научиться находить точку экономического равновесия, в которой товар оценивается при равенстве предложения и спроса. Компания, не умеющая использовать язык уравнений для представления своих данных, будет, как сказал Галилей, блуждать в темном лабиринте, пока ее конкуренты будут загребать прибыли.

Если у вас есть набор данных, полезно попытаться найти уравнение, описывающее связь между ними. Его обнаружение открывает поразительный шорткат к предсказанию того, что может случиться в будущем.

Такие паттерны бывают необычайно универсальными. В случае брошенного мяча не важно, кто именно бросил мяч, как его бросили или где его бросили. Даже если заменить один мяч на другой, общий вид уравнения останется неизменным.

Но при подгонке уравнений к данным необходима осторожность. Если взять данные о численности населения Соединенных Штатов за последнее столетие, они довольно хорошо описываются квадратным уравнением, подобным тому, с помощью которого мы описывали траекторию мяча. Однако, если использовать более сложное уравнение, в котором степень х доходит до х10, соответствие данным получается и вовсе точным. Казалось бы, это говорит о том, что более сложная формула должна дать более точные предсказания. Единственный недостаток состоит в том, что на середину октября 2028 года это уравнение предсказывает падение численности населения Соединенных Штатов до нуля. Или же уравнение знает нечто такое, чего не знаем мы.

Эта история служит предостережением тем, кто считает, что для научных исследований достаточно одного лишь использования больших данных. В данных действительно могут проявляться паттерны, но, чтобы понять, почему эти паттерны должны быть основаны на тех или иных уравнениях, мы по-прежнему должны сочетать данные с аналитическим мышлением. Сделанное Галилеем открытие квадратичного закона гравитации было впоследствии объяснено благодаря теоретическому анализу Ньютона, показавшему, почему в данном случае правильно использовать именно квадратные уравнения.

Шорткат в гиперпространство

Идея превращения геометрии в числа не только позволяет лучше ориентироваться в трехмерном пространстве. Она еще и открывает перед нами порталы в миры, которые мы никогда не увидим своими глазами. Одним из самых захватывающих моментов моего математического путешествия по искусству шортката было открытие возможности изучать многомерные пространства. Тот день, когда я впервые прочитал о том, как этот язык позволяет построить