Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус дю Сотой

выигрывать, может дать вам сильнейшее преимущество. Одним из самых волнующих открытий в то время, когда я учился математике, было открытие того, как словарь, переводящий с языка геометрии на язык чисел, способен открыть шорткат в гиперпространство – многомерную вселенную, исследованию которой и посвящена с тех пор моя профессиональная деятельность в математике.

В науке и вне ее есть все больше концепций, которых, как нам кажется, даже не существует, если мы не найдем правильные способы их описания. Один из таких примеров дает концепция эмерджентных явлений – что свойства целого порождаются его составляющими частями. Например, трудно понять, что вода мокрая, если рассматривать отдельные молекулы H2O. Хотя наука, по-видимому, предполагает, что все что угодно можно свести к поведению таких фундаментальных частиц и уравнениям, определяющим их поведение, этот язык совершенно не подходит для описания явлений. Миграцию стаи птиц невозможно выразить уравнениями, описывающими движение атомов, из которых эти птицы состоят. Макроэкономические явления редко становятся понятны, если использовать только язык микроэкономики. Нельзя понять, как рост учетных ставок влияет на инфляцию, на языке отдельных товаров, хотя причиной макроэкономических явлений и являются микроэкономические изменения. Даже наши концепции свободы воли и сознания невозможно полноценно выразить в терминах нейронов и синапсов.

Переход на другой язык в описании эмоционального состояния человека может радикально изменить его чувства. Вместо слов «я тоскую», которые, как кажется, помещают вас в жесткую формулу, привязывающую вас к грусти, можно сказать «у меня тоска», и внезапно появляется возможность, что тоска вас покинет. Американскому психологу XIX века Уильяму Джеймсу приписывают такие слова: «Величайшее открытие моего поколения состоит в том, что человек может изменить свою жизнь, изменив свой умственный настрой». Но могущественное воздействие языка затрагивает не только личность. Язык играет важнейшую роль в социальном построении реальности. Общество может порождать объекты, называя их. Концепция национального государства основывается на словах в той же мере, что и на географическом положении или человеческом сообществе.

Иногда смена языка приводит к тому, что идеи, трудно поддающиеся выражению на одном языке, вполне могут быть высказаны на другом. Тот факт, что в немецком языке у существительных есть род, позволяет создавать игру слов, невозможную в английском. Поэт Генрих Гейне написал стихотворение о любви покрытой снегом сосны к опаленной зноем пальме Востока. По-немецки сосна (Fichtenbaum) мужского рода, а пальма – женского, но в английском переводе этот нюанс теряется[38]. Иногда что-то теряется и при переводе в обратную сторону. По-английски можно сказать his car and her car (его машина и ее машина), но во французском переводе системы Google Translate начинается путаница – sa voiture et sa voiture, – потому что во французском важнее оказывается род машины, а не ее владельцев. В русском языке есть по особому названию для всех видов снега и дождя, какие только можно вообразить. В некоторых языках всего пять слов для обозначения цветов, а в английском их множество. Я уже говорил, насколько важно для меня понятие паттерна (pattern); однако, когда я пытаюсь перевести это слово на французский, оказывается, что в этом языке нет слова, у которого были бы все те многочисленные смысловые грани, которые есть у английского.

Роль различий между языками чрезвычайно интересовала и моего героя, Карла Фридриха Гаусса. В школе он поражал учителей успехами в латыни и молниеносным пониманием классических литературных трудов. Более того, когда Гаусс начинал учиться на деньги, которые выделил герцог Брауншвейгский, он чуть было не выбрал вместо курса математики курс классической филологии.

Маршрут, по которому пролегал мой собственный путь к математической профессии, был довольно похожим. В детстве я хотел стать разведчиком и считал, что знание языков будет важным навыком, который позволит мне общаться с коллегами – агентами разведки – во всем мире. Я записывался на уроки по всем языкам, которые преподавали в моей общеобразовательной школе, – французскому, немецкому, латыни. Я даже начал изучать русский, благо по Би-би-си передавали уроки русского. Но, в отличие от Гаусса, освоение этих языков давалось мне нелегко. Я не мог продраться сквозь неправильные глаголы и причудливое правописание. Мечты о карьере разведчика казались все менее реалистичными, и это приводило меня в совершеннейшее отчаяние.

Только когда мой учитель мистер Бейлсон дал мне почитать книгу под названием «Язык математики»[39], я начал понимать, что математика – тоже язык. Я думаю, он не только видел, что я жажду найти язык без неправильных глаголов, в котором все правильно и логично, но и понимал, что меня не сможет не увлечь способность этого языка описывать окружающий меня мир. Из этой книги я узнал, что математические уравнения могут рассказывать историю движения планет в ночном небе, что симметрия может объяснить форму пузырьков, пчелиных сот или цветков, что числа позволяют понять гармонию музыки. Для описания Вселенной нужно было учить не русский, не немецкий, не английский, а математику. А еще я узнал из «Языка математики», что математика – это не один язык, а множество языков и прекрасное средство создания словарей, переводящих с одного языка на другой для создания новых языковых шорткатов.

История математики помнит множество великолепных моментов такого рода.

Математическая грамматика

Объяснение многих из паттернов, которые я показывал вам до этого момента, опирается на поразительный математический шорткат – алгебру. Секрет алгебры заключается в том, что она позволяет перейти от частного к общему. Это означает, что при рассмотрении каждого конкретного случая не требуется прокладывать новый путь. Можно не рассматривать по отдельности каждое число, а взять букву х и объявить, что она обозначает любое число.

Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.

Алгебра