Информация и человек - Сергей Сергеевич Сергеев

казнь назначить никак не могут, так как это последний день отведённого срока, и если он доживёт до субботнего вечера, то будет абсолютно точно знать, что казнь состоится в воскресенье. И, естественно, объявив об этом, останется жив. Итак, воскресенье отпадает. Казнить его могут не позднее субботы. То есть последний день казни – суббота. Но в таком случае, если он доживёт до вечера пятницы, то будет точно знать, что его казнят в субботу. То есть суббота тоже отпадает. Последний день – пятница. Но в этом случае он будет знать о казни в четверг вечером. И пятница отпадает. По этой же логике отпадают также четверг, среда, вторник и понедельник. Не может казнь состояться!

И действительно, если пользоваться логикой заключённого, то вроде бы очень легко узнать назначенный день казни. Вернее, невозможность его назначения. Конечно же, это не так. Но при обработке информации «кусочками» (как это всегда делается при словесно-логическом мышлении), сознание на каком-то этапе «не увидело» нужную для данной ситуации информацию (какую-то аксиому) и сделало неправомерную «стыковку». Её суть мы разберём чуть ниже.

Рассмотрим ещё один софизм. Этот софизм Лев Толстой в «Войне и мире» приводит как демонстрацию одной из ситуаций, в которой сознание человека не замечает абсурдности логических выкладок: «Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идёт в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдёт пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдёт впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдёт эту десятую, черепаха пройдёт одну сотую и т.д. до бесконечности».

Здесь тоже, как и в первом софизме, всё вроде бы логично, всё «стыкуется». Вот только объём информации небольшой, вся она легко помещается в зоне видимости, и сразу же бросается в глаза абсурдность результата.

В чём же заключается неправомерность стыковки в данных софизмах? Вспомним приведённый нами чуть выше абсурдный постулат об игре в шахматы. Его абсурдность в том, что мы допустили (в данном случае умышленно, конечно), что соперник будет думать (то есть обрабатывать информацию) точно так же, как и мы сами. Но ведь понятно, что у соперника свой опыт, своя логика, своё видение ситуации. Иначе говоря, в его сознании присутствует своя, не известная нам фоновая информация. Естественно, нельзя достоверно предугадать, как он поступит в том или ином случае. В конце концов, ему никто не запрещает пользоваться логикой персонажа одной из песен В. Высоцкого (речь идёт о шахматной партии этого персонажа с Фишером): «Мне же неумение поможет: / Этот Шифер ни за что не сможет / Угадать, чем буду я ходить». То есть надо, помимо всего прочего, учитывать и такую характеристику рассматриваемой информации: «Соперник может сделать любой ход, в том числе и такой, который с моей точки зрения является абсурдным».

Но вот в первом софизме заключённый «состыковал» именно такого рода нелогичность: он допустил, что его палач (или начальник палача, – словом, тот, кто принимает решение о казни) будет думать, как и он сам. Почему, собственно, надо исходить из предположения, что палач ни в коем случае не назначит казнь на последний день установленного срока? Ведь он может оказаться просто туповатым человеком и не сообразить, что заключённый догадается о казни заранее, то есть в субботу вечером. А если палач не тупица, то разве казнь в воскресенье исключена? Как раз именно в случае, если палач достаточно умён, он может разгадать логику заключённого и предположить, что тот догадается о невозможности назначения казни на воскресенье. И по этой логике назначить казнь именно на этот день, зная, что заключённый не будет ждать субботнего вечера чтобы заранее объявить о предстоящей казни. Впрочем, логика у палача может быть самой разной. Ясно только одно: нельзя достоверно предсказать логику другого человека. А заключённый именно это и сделал. И именно отсюда вытекает абсурдность всей логической цепочки.

А какая неправомерность «стыковки» информации допущена во втором софизме? Именно такая, какую мы умышленно допустили, когда говорили о десяти отрезках по сто метров и одном отрезке в тысячу метров. Отличие лишь в том, что в данном случае количество отрезков пути бесконечно. Здравый смысл подсказывает, что если требуется последовательно пройти бесконечно большое количество отрезков пути, пусть даже ничтожно малых, то идти придётся бесконечно долго, и до конечного пункта никогда не доберёшься. Всё логично. Но это логично только для человека, который совершенно не знаком с азами высшей математики и не знает такого понятия, как бесконечно малая величина. Само по себе это выражение подразумевает, вроде бы, какую-то «очень-очень маленькую» величину, например, одну миллиардную долю миллиметра. Или даже одну триллионную. Или ещё меньше. Но на самом деле это не совсем так. Для тех, кто совсем не знаком с математикой, поясним, что бесконечно малая величина это не какое-то конкретное «очень-очень маленькое» число. Это просто значение определённым образом заданной функции для определённых условий. Поясним конкретнее. Автор софизма задал бесконечно большое количество бесконечно малых отрезков пути не через совокупность конкретных величин, пусть и ничтожно малых, а через функцию: он задал бесконечно повторяющийся с определённой закономерностью цикл, который позволяет вычислить длину отрезка на любом этапе вычислений. Именно так в математике задаются бесконечно малые величины (не конкретным числом, а через функцию). Всегда получается числовой ряд с бесконечно большим количеством членов этого ряда. Но, пользуясь определёнными математическими методами, все члены подобного числового ряда можно просуммировать, несмотря на их бесконечное количество. При этом получаются вполне конкретные числа (не бесконечно малые или бесконечно большие, а просто «обычные» реальные числа). Точно так же, как в случае, когда мы складывали десять отрезков по сто метров, только методика суммирования несколько иная.

***

В данном конкретном случае если первоначальное расстояние от Ахиллеса до черепахи обозначить как S, то путь, который Ахиллесу надо пройти до черепахи, равен этому расстоянию плюс сумма S/10n, при n стремящемся к бесконечности (n=1,2,3…). Сумма всех отрезков равна 1,11111хS (одна целая и единица в периоде, умноженное на S). А время прохождения этих отрезков будет равно, соответственно, этому числу, поделённому на скорость ходьбы Ахиллеса. Совсем не бесконечно большое число.

Для лучшего понимания того, каким образом получается, что сумма бесконечно большого количества определённых величин может не превышать конкретного значения, можно рассмотреть такой пример. Допустим, нам надо записать в десятичной форме число 1/3. Это выглядит, как известно, так: 0,3333333… То есть, «ноль целых и три в периоде». Заметим: каждая последующая тройка имеет значение в десять раз меньше предыдущей, и их мы можем приписывать сколь