Чего не знает современная наука - Сборник статей

Строгого определения фрактала не существует. Наиболее известными являются определения Бенуа Мандельброта, математика, благодаря работам которого мы теперь осознаем, насколько важны эти новые геометрические объекты для понимания окружающего мира. В основе первого, пробного определения лежит представление о топологической размерности множеств: размерность точки принимается равной 0, линии —1, плоской фигуры – 2 и т. д. Формулируется оно так: «Фракталами называются множества дробной размерности», – что выражает «пограничное» свойство фракталов лежать между точкой и линией или между линией и плоской фигурой (это как раз такие «пушистые» линии, как описанная выше кривая Коха). Однако мало того, что требуется расшифровка понятия дробной размерности, неудачность этого определения стала очевидной после приведения ряда контрпримеров объектов, для которых оно не выполняется, притом что исходя из интуитивного представления их имело бы смысл отнести к фракталам (например, чрезвычайно «дырявая» пирамида, построенная польским топологом Вацлавом Серпинским, формально имеет размерность, равную 2, хотя получена из трехмерного тетраэдра поочередным отбрасыванием вписанных в него тетраэдров с половинной стороной).

Несколько менее формальное и значительно более общее определение фрактала, данное Мандельбротом несколько позже, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому». Неопределенность этого определения, содержащаяся в словах «в некотором смысле», делает понятие фрактала чуть ли не всеобъемлющим.

Поясним, как в это определение укладываются «математические» фракталы типа прямой Коха. Заметим вначале, что такие геометрические объекты, как прямая или плоскость, разумно назвать самоподобными. Формально охарактеризовать это свойство можно тем, что эти фигуры не изменяются при некоторых геометрических преобразованиях: перенос прямой вдоль нее приводит к той же самой прямой, плоскость при параллельном сдвиге и повороте переходит в себя же. Независимость от преобразований в математике принято называть симметрией. Есть множества, не обладающие столь полной симметрией, как плоскость или прямая, например, окружность не изменяется только при повороте – она также самоподобна. В этом смысле, согласно второму определению, все эти множества являются фракталами, несмотря на свою простую геометрическую структуру. Их можно назвать гладкими фракталами, в отличие от кривой Коха, пирамиды Серпинского, множества Кантора и т. п.

Какой же симметрией обладает кривая Коха? Выбрав ее фрагмент, например, одну треть всей кривой, и увеличив его в три раза, мы вновь получим в точности исходную кривую. Физики говорят, что такие объекты обладают скейлингом, от слова scale «шкала»: изменить шкалу в три раза – это все равно что рассматривать исходный объект под микроскопом с трехкратным увеличением. Если мы вновь видим ту же картину, что и без микроскопа – значит, объект обладает скейлингом и является фракталом.

Сначала фракталы воспринимались как экзотика. Ну действительно, не бывает же в природе объектов, для которых адекватной моделью является конечная линия с бесконечной длиной или объемная фигура с нулевым объемом! Но вот Морское министерство Великобритании заказывает своему геодезическому управлению работу по измерению длины береговой линии Британских островов. И что же? Ответ зависит от масштаба используемой карты, длина имеет тенденцию стремиться к бесконечности при уменьшении масштаба. Ага, да это же фрактал! То же самое можно сказать и о рисунке речной сети на поверхности Земли, о структуре разломов в горных породах, о следах, оставляемых высоковольтным разрядом при пробое, о скоплении молекул, осаждаемых из раствора (они выглядят как длинные разветвленные «мохнатые» цепочки типа кораллов или снежинок), о замысловатых узорах из молекул одного вещества, «расползающихся» по поверхности другого, – к ним относятся и ледяные рисунки, появляющиеся на окнах в морозные дни, – это все примеры природных фракталов.

Вспомним, что фрактал обладает дробной размерностью. Во многих справочниках, особенно по материаловедению, часто можно встретить эмпирические зависимости типа степенной функции с дробным показателем, и для объяснения таких «странных» законов весьма правдоподобной кажется гипотеза, что эти зависимости отражают фрактальные свойства объектов, их порождающих, – структуры зерен металла, структуры поверхностей и пр.

Посмотрим теперь на такую знакомую всем картину, как растущий за окном куст. Вспомним: сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе; в результате из незамысловатой «вилки» двух побегов вырастает причудливое растение, но – самоподобное, фрактальное. Оно получено многократным тиражированием простейших вилок.

А Вселенная? Рассмотрим околоземное пространство: в нем есть центральное тело, Земля, вокруг которого вращаются спутники. Изменим масштаб, и получим ту же картину для Солнечной системы. Еще больший масштаб – и та же ситуация для Галактики, для скоплений галактик и т. д. Выберем меньший масштаб – и получим сходную картину структуры вещества. Вселенная – пространственный фрактал!

До сих пор речь шла о фрактальности пространственных форм. Однако самоподобие можно увидеть и в динамике процессов, протекающих во времени. Действительно, мы часто говорим о цикличности истории: государства, этносы, общественные структуры, целые цивилизации в своем развитии проходят через сходные этапы, «история повторяется».

В прошлом номере журнала мы рассказывали о процессах развития Вселенной – и здесь бросается в глаза повторяемость этапов развития. Сначала из единой точки рождается множество форм – фундаментальные частицы, ядра простейших элементов. Затем, после концентрации этой первоматерии, происходит следующий этап, в чем-то подобный первому: из простейших протонов и альфа-частиц рождается множество более тяжелых ядер. По тому же сценарию идет образование планет – от однородного, единого к множеству разных форм: от атомов («точек», размерность которых равна 0) через линейные молекулы (1) к плоским (2) и объемным структурам (3). Так же – от «единиц», через «двойки» к «тройкам» – формируется нервная система в процессе эволюции живых организмов. Не является ли это частным проявлением общего принципа, которые древние мудрецы отразили в своих философских концепциях, говоря о развитии от Единого к множественности через двоичность и троичность?

В современной физике скейлинг, или масштабная инвариантность, понимаемая как неизменность формулировки физической теории при одновременном изменении всех расстояний и временных промежутков в одинаковое число раз, рассматривается как фундаментальное свойство природы. Этим свойством обладают такие, например, соотношения, как уравнения Максвелла, которым удовлетворяют все электродинамические процессы макромира, уравнения Клейна-Гордона и Дирака, описывающие явления микромира. Стало быть, Вселенная – не только пространственный, но и пространственно-временной фрактал!

После всех этих примеров читателя, наверное, не удивит то, что в современной науке фрактальность поведения сложных нелинейных систем считается их неотъемлемым свойством как строго доказанный математический факт! Оказывается, что если система достаточно сложна, то она в своем развитии обязательно проходит через чередующиеся этапы устойчивого и хаотического развития. Причем сценарии перехода от порядка к хаосу и обратно поддаются классификации, и вновь все многообразие природных процессов распадается на небольшое число качественно подобных. Один из таких сценариев может быть описан с помощью наглядного геометрического образа, рисунка, являющегося фракталом, полностью самоподобным объектом. Речь идет о так называемом логистическом отображении, впервые использованном П. Ферхюльстом в 1845 году как модель роста числа особей в популяции животных; согласно этой модели, общее число x(n) особей n-ного поколения пропорционально числу x(n–1) особей предыдущего поколения с коэффициентом пропорциональности, линейно убывающим в зависимости от этого числа особей. Подобной динамикой обладает и изменение банковского вклада по закону «сложного процента», когда начисление линейно зависит от самого вклада. Более того, оказалось, что свойства логистического отображения универсальны, они характерны для динамики любой системы, поведение которой описывается гладкой функцией вблизи точки ее минимума.

Развитие систем, описываемых логистическим отображением, очень напоминает античные натурфилософские и мифологические сценарии рождения мира. Сначала, при некотором значении коэффициента пропорциональности, в системе имеется лишь одно устойчивое положение равновесия – Единое еще не начало свой путь творения. При изменении коэффициента наступает момент, когда точка равновесия раздваивается, возникают два устойчивых состояния, в которых система пребывает по очереди, то в одном, то в другом, шаг за шагом по времени. Потом каждая из этих точек вновь раздваивается, и ситуация повторяется, сохраняя общий рисунок. Рано или поздно множество точек равновесия плотно заполняет все множество состояний, система переходит к хаосу, полностью разрушая свою структуру. Но затем, при дальнейшем росте параметра, из хаоса вновь возникает некоторое конечное число упорядоченных состояний, которые в конце концов «схлопываются» в единственное, и все начинается сначала. В математической модели этого явления обнаружено множество подобных, скейлинговых элементов; эти свойства подобия в науке носят название универсальности Фейгенбаума.