Чего не знает современная наука - Сборник статей

Фундаментальное свойство природы – ее измеримость – дает надежду на то, что на пути математической абстракции мы можем найти ответ на вопрос, в чем выражается общее, единое, что связывает разнородные явления мира. Измерение сопоставляет с каждым объектом набор чисел, характеристик его содержания, сути. Отношения между объектами различной природы теперь могут быть выражены на одном языке, достаточно технологичном и содержательном. Догадка древних о том, что числом можно описать свойства любого объекта, дала человеку могущественное средство понимания реальности – сегодня мы называем его наукой.

Отражение «идеального плана» Вселенной – пропорции

Итак, пользуясь эталонами и сравнением, вместо объектов реального мира можно исследовать их абстрактную числовую модель, обобщающую свойства целого класса «похожих» объектов, явлений, процессов. Нельзя ли на этом пути дойти до платоновского мира Идей, отражением которого является наш воплощенный реальный мир? Ведь как было бы замечательно! Есть идеальный план мира, и есть его реальное воплощение. И соответствие этих миров можно было бы проверить, имея единый эталон для измерения их качеств и сравнивая числа. Но вот беда: количественные выражения зависят от эталона, как зависит расстояние между пунктами А и Б от того, в каких единицах мы будем его измерять – в метрах, футах или локтях. А эталон-то выбирает человек, а не Бог, и, значит, полученная модель будет отражать не высшие принципы, а, скорее, наши собственные предпочтения в выборе эталонов. Да к тому же и измерения в мире идеальном для нас недоступны…

Но если миры похожи, то в них подобны не только все элементы, но и соотношения между ними. А ведь отношения величин, измеренных в одних и тех же единицах, уже не зависят от эталона – этому нас учили в средней школе. Действительно, если расстояние от пункта А до пункта Б в семь раз больше, чем от А до В, то их отношение, равное в данном случае семи, сохранится для расстояний, измеренных и в локтях, и в стадиях! Значит, идеальность мира откроется в пропорциях – отношениях количеств.

Таким образом, следы единства явлений природы надо искать в законах пропорций. Если что-то построено по божественным, идеальным законам, то это выражается в отношении количеств, и пропорции любого естественно существующего объекта должны быть идеальны.

Пропорция и музыкальная гармония

Итак, у нас в руках один из ключей к пониманию природы. Но какие пропорции идеальны, а какие – нет? Вслед за античными мудрецами мы часто говорим о «божественной красоте» картины или «божественном звучании» музыки, не разделяя «божественное» и «прекрасное». Может быть, найти идеальные соотношения можно, опираясь на наше чувство красоты?

По этому пути пошли пифагорейцы, взяв за основу красоту созвучий – ведь отличить гармоничное звучание от душераздирающей какофонии может любой человек, не только музыкант. В пифагорейской теории музыки для анализа приятных на слух созвучий – консонансов – использовался инструмент, состоящий из одной струны, который назывался «монохорд». Наиболее гармоничное звучание получалось, когда звучали два монохорда, один с полностью открытой струной, другой – со струной, зажатой посредине. Это созвучие, называемое октавой, возникало, когда отношение длин звучащих струн (т. е. отношение высот двух звуков) равнялось 2. Два другие гармоничные созвучия получались при отношении длин струн 2:3 (квинта) и 3:4 (кварта).

Таким образом, если чувство красоты дано человеку для ощущения божественного, а законы прекрасного можно записать в виде математических соотношений, то появляется возможность находить единство (например, божественное происхождение) как в явлениях природы, так и в творениях человека: те объекты или явления, которые существуют по законам простых (целочисленных) пропорций, являются идеальными.

Легенда говорит, что свойства музыкальной гармонии настолько вдохновили Пифагора, что в отношениях целых чисел он стал искать главный ключ к законам мироздания. По его идее, весь мир пронизан вибрациями, и чтобы познать его, надо уметь услышать голоса мира, «музыку сфер», прикоснуться к идеальной пропорциональности вселенских созвучий.

Золотое сечение

Еще одним ярким примером пропорции, закрепляющей мимолетное чувство гармонии в строгих фиксированных математических законах, является так называемое отношение золотого сечения. Первое формальное ее определение содержится в «Началах» Евклида: «Говорят, что отрезок прямой разделен лучшим образом, пропорционально, если целая часть так относится к большей части, как большая к меньшей». Отношение золотого сечения встречается и в природных объектах: в пропорциях человеческого тела, в строении раковины улитки, в рисунке паутины, и в искусстве: архитектуре, живописи, скульптуре, музыке. Построение художественного произведения по законам золотой пропорции стало синонимом его совершенства: Парфенон в Афинах, храм Василия Блаженного в Москве, скульптуры Фидия, полотна Боттичелли, Рафаэля, Леонардо да Винчи, фуги Баха, сонаты Бетховена – везде присутствует золотое отношение.

Понятие подобия в современной науке

Имея еще с древности столь блестящие подтверждения действенности математики в решении проблемы поиска единства явлений природы, человек продолжает искать новые объекты, новые законы, новые знаки и символы, отражающие общие принципы.

XVIII век, эпоха Просвещения. Вдруг осознается, что мир может меняться, он не застывший, статичный, а подвижный; возникает интерес к описанию движения. Трудами Ньютона и Лейбница разрабатываются теория бесконечно малых и дифференциальное исчисление. Снова поразительные результаты математического метода! Оказывается, если известны начальное состояние и скорость (т. е. отношение бесконечно малых пути и времени), то поведение системы полностью определено.

Успехи математической физики просто поражают. Бесконечное разнообразие природы описывается математическими моделями, составленными из небольшого числа уравнений, их можно классифицировать – например, как гиперболические, параболические и эллиптические, – и изучить качественное поведение их решений. Явления природы разнятся по форме, но в основе их лежит не так уж много сценариев, главных механизмов. Кажется, вот-вот будет ухвачен общий принцип, основа всего сущего, еще чуть-чуть – и не останется никаких тайн… Но чем дальше в глубь вещества или в глубины космоса – тем больше проблем; с любовью создаваемое здание науки рушится на пороге XX века.

Кризис классической физики вновь разрешается на математическом пути: волновая, или квантовая, механика, современная теоретическая физика, теория нелинейных динамических систем – все они немыслимы без математики, более того, зачастую даже выглядят как ее разделы. Возникают новые математические объекты – функции, случайные процессы и поля, операторы… Кажется, что математические построения, модели, символы и средства времен фараонов, критских архитекторов, Пифагора и Архимеда безнадежно устарели, мы снисходительно называем их наивными…

Но вернемся к пропорции. В рассмотренных примерах музыкальной гармонии и золотого сечения мы под пропорциями понимали отношение двух величин, измеренных с помощью одного и того же эталона. Равенство двух таких отношений выражает принцип подобия. Но подобие можно понимать и в более широком смысле. Например, все явления, описывающиеся дифференциальными уравнениями гиперболического типа, можно считать подобными, поскольку их поведение сходно на качественном уровне. Различные реализации случайного процесса тоже подобны, так как они описываются качественно одной и той же математической моделью. Можно считать, что современная наука только подтвердила, развила, наполнила новыми особенностями древний принцип, записанный еще на изумрудной скрижали Тота-Гермеса: «Все во всем» или «Что наверху, то и внизу». Сегодня этот принцип можно сформулировать как самоподобие мира: его части устроены так же, как и целое.

Фрактал: геометрический образ подобия

Обозначением, символом самоподобия в современной математике является относительно недавно возникшее геометрическое понятие «фрактал».

Объекты, которые сейчас называются фракталами, впервые появились в математике при развитии понятий «линия», «плоская фигура» и т. п.: к ним относятся такие фигуры, которые нельзя назвать ни линией, ни поверхностью в полном смысле слова. Примером такого объекта является кривая Коха, названная в честь датского математика Хельге фон Коха. Она получается из отрезка прямой последовательной заменой каждого прямолинейного участка на ломаную линию путем «вытягивания» средней трети исходного отрезка до равностороннего треугольника. Повторяя такую процедуру бесконечное число раз, в пределе мы получим конечную «линию», соединяющую две точки, имеющую бесконечную длину. Для привычных нам линий такое свойство кажется экзотичным. В то же время назвать кривую Коха плоской фигурой тоже язык не поворачивается – скорее, это «пушистая линия».